Calcule os seguintes limites
Para os itens de (e)-(g) utilize o primeiro limite fundamental; (h)-(n) não é pra fazer; (o)-® Teorema do Confronto.
lim (x, y) (0,0) x^32 x^2+y^4,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, x e y , aproximando-se de (0,0) . O enunciado é:
lim (x, y) (0,0) x^32 x^2+y^4
Aqui, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze) para encontrar o limite. Esse teorema é super útil quando conseguimos “apertar” a função entre duas outras que têm limites conhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o Teorema do Confronto pede. Basicamente, se temos três funções f(x, y) , g(x, y) e h(x, y) tais que:
g(x, y) <= f(x, y) <= h(x, y)
e se:
lim(x, y) to (0,0) g(x, y) = lim(x, y) to (0,0) h(x, y) = L
Então, necessariamente:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = L
Vamos aplicar isso no nosso caso.

Passo 3

Observando a função:
f(x, y) = x^32 x^2 + y^4
Queremos encontrar limites superior e inferior para f(x, y) que sejam fáceis de calcular e que se aproximem do mesmo valor quando (x, y) vai para (0,0) .
Vamos analisar os valores absolutos para facilitar:
| x^32 x^2 + y^4 |
Sabemos que 2x^2 + y^4 >= 2x^2 , já que y^4 é sempre positivo ou zero. Então:
| x^32 x^2 + y^4 | <= | x^32 x^2 | = | x2 | = |x|2

Passo 4

Agora, sabemos que |x|2 é uma função que tende a zero quando x tende a zero. Ou seja:
lim(x, y) to (0,0) |x|2 = 0
E como:
-|x|2 <= x^32 x^2 + y^4 <= |x|2
E ambos os limites laterais são zero, pelo Teorema do Confronto, concluímos que:
lim(x, y) to (0,0) x^32 x^2 + y^4 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.
lim (x, y) (0,0) x^32 x^2+y^4 = 0

Exercícios relacionados