Calcule os seguintes limites
Para os itens de (e)-(g) utilize o primeiro limite fundamental; (h)-(n) não é pra fazer; (o)-® Teorema do Confronto.
lim (x, y) (0,3) sin (x y)2 x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis. O exercício pede para calcular o limite de sin(xy)2x quando (x, y) se aproxima de (0, 3). Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e vamos precisar usar o primeiro limite fundamental para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa (x, y) (0, 3). Isso quer dizer que x está se aproximando de 0 e y está se aproximando de 3 ao mesmo tempo. Nosso objetivo é descobrir para qual valor a função sin(xy)2x se aproxima quando isso acontece.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão sin(xy). Quando x está próximo de 0 e y está próximo de 3, o produto xy será próximo de 0 times 3 = 0. Então, podemos pensar que sin(xy) está se comportando como sin(0), que é 0, mas precisamos ser mais precisos.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão usando a ideia de que y está se aproximando de 3. Assim, podemos dizer que y = 3 + h, onde h é um pequeno número que tende a 0. Substituindo na função, temos:
sin(xy)2x = sin(x(3 + h))2x
Simplificando:
sin(3x + xh)2x

Passo 5

Quando x tende a 0, o termo xh também tende a 0, porque é o produto de dois números que estão indo para zero. Portanto, podemos aproximar sin(3x + xh) por sin(3x). Assim, a expressão fica:
sin(3x)2x

Passo 6

Agora, aplicamos o primeiro limite fundamental, que diz que limx to 0 sin(kx)x = k. No nosso caso, k = 3, então:
limx to 0 sin(3x)2x = 32

Resposta

O limite é 32.

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