Calcule os seguintes limites
Para os itens de (e)-(g) utilize o primeiro limite fundamental; (h)-(n) não é pra fazer; (o)-® Teorema do Confronto.
,
Para os itens de (e)-(g) utilize o primeiro limite fundamental; (h)-(n) não é pra fazer; (o)-® Teorema do Confronto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O que a gente tem aqui é calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Squeeze.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
. Aqui,
representa a distância ao quadrado do ponto
até a origem
. Quando expressamos em coordenadas polares,
, então
.
Passo 3
Agora, reescrevendo a função em termos de
, temos:
O que facilita a análise do limite quando
tende a 0.
Passo 4
Vamos lembrar que a função cosseno tem uma propriedade importante:
para qualquer valor de
. Então, sabemos que:
Passo 5
Multiplicando todos os lados dessa desigualdade por
(que é sempre positivo), temos:
Passo 6
Agora, queremos usar o Teorema do Confronto. Para isso, vamos analisar os limites das duas extremidades da desigualdade conforme
:
e
Passo 7
Segundo o Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite. No nosso caso:
e ambos os limites das extremidades são 0. Portanto:
Resposta
O limite é igual a
.