Calcule os seguintes limites
Para os itens de (e)-(g) utilize o primeiro limite fundamental; (h)-(n) não é pra fazer; (o)-® Teorema do Confronto.
lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) cos (x^2+y^2),

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O que a gente tem aqui é calcular o limite de (x^2 + y^2) cos(x^2 + y^2) quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Squeeze.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando: (x^2 + y^2) cos(x^2 + y^2). Aqui, x^2 + y^2 representa a distância ao quadrado do ponto (x, y) até a origem (0,0). Quando expressamos em coordenadas polares, r = raizx^2 + y^2, então x^2 + y^2 = r^2.

Passo 3

Agora, reescrevendo a função em termos de r, temos:
f(r) = r^2 cos(r^2)
O que facilita a análise do limite quando r tende a 0.

Passo 4

Vamos lembrar que a função cosseno tem uma propriedade importante: -1 <= cos(t) <= 1 para qualquer valor de t. Então, sabemos que:
-1 <= cos(r^2) <= 1

Passo 5

Multiplicando todos os lados dessa desigualdade por r^2 (que é sempre positivo), temos:
- r^2 <= r^2 cos(r^2) <= r^2

Passo 6

Agora, queremos usar o Teorema do Confronto. Para isso, vamos analisar os limites das duas extremidades da desigualdade conforme r to 0:
limr to 0 (-r^2) = 0
e
limr to 0 r^2 = 0

Passo 7

Segundo o Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite. No nosso caso:
- r^2 <= r^2 cos(r^2) <= r^2
e ambos os limites das extremidades são 0. Portanto:
limr to 0 r^2 cos(r^2) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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