Calcule os seguintes limites justificando sua resposta:
lim x 0 1-cos xx^2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto01-cos xx^2
Este é um problema de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a identidade trigonométrica e o limite fundamental
limuto0sin uu=1

Passo 2

Usamos a identidade
1-cos x = 2sin^2!l(tfracx2r)

Passo 3

Substituindo na expressão do limite, obtemos
1-cos xx^2 = 2sin^2!l(tfracx2r)x^2

Passo 4

Reescrevemos sin^2(x/2) de modo a usar o limite fundamental:
2sin^2!l(tfracx2r)x^2 =2gl(sin(tfracx2)tfracx2gr)^2cdot(tfracx2)^2x^2

Passo 5

Observe que
l(tfracx2r)^2x^2 =x^2/4x^2 =14,
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1-cos xx^2 =2cdotgl(sin(tfracx2)tfracx2gr)^2cdot14 =12gl(sin(tfracx2)tfracx2gr)^2

Passo 6

Ao fazermos xto0, então tfracx2to0 e vale o limite fundamental
limxto0sin(tfracx2)tfracx2=1
Portanto
limxto01-cos xx^2 =12cdot1^2 =12

Resposta

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