Calcule os seguintes limites, justificando as suas respostas. Não pode usar a Regra de l’Hospital
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+\cos \left(x^{2}+3 x\right)}{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{1+\cos\bigl(x^{2}+3x\bigr)}{x^{2}}.
Aqui o numerador oscila entre valores limitados e o denominador cresce sem limite. Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), já que não podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Como \cos(\theta) varia em [-1,1], temos
-1 \le \cos\bigl(x^{2}+3x\bigr)\le 1 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le 1+\cos\bigl(x^{2}+3x\bigr)\le 2.
Dividindo por x^{2} (positivo para x\to\infty), obtemos
0 \le \frac{1+\cos\bigl(x^{2}+3x\bigr)}{x^{2}} \le \frac{2}{x^{2}}.

Passo 3

Calculamos os limites das funções que “confrontam” a nossa:
\lim_{x\to\infty}0 = 0, \qquad \lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^{2}} = 0.
Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária também tende a zero.

Resposta

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