Calcule os seguintes limites, justificando as suas respostas. Não pode usar a Regra de l’Hospital
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-5 x-6}{x^{2}-x-2},

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x \to -1} \frac{x^{2}-5x-6}{x^{2}-x-2}
sem usar a Regra de L’Hospital. O conteúdo aqui é limites de funções racionais que apresentam indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, e vamos resolver fatorando polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=-1. No numerador e no denominador temos:
(-1)^{2}-5(-1)-6 = 1+5-6 = 0,
(-1)^{2}-(-1)-2 = 1+1-2 = 0.
Portanto a forma é \tfrac{0}{0}, uma indeterminação.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
x^{2}-5x-6 = (x+1)(x-6),
x^{2}-x-2 = (x+1)(x-2).

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x+1), obtendo a expressão equivalente
\frac{x^{2}-5x-6}{x^{2}-x-2} = \frac{(x+1)(x-6)}{(x+1)(x-2)} = \frac{x-6}{x-2},
válida para x\neq -1.

Passo 5

Agora aplicamos o limite na forma simplificada:
\lim_{x\to -1} \frac{x-6}{x-2} = \frac{-1-6}{-1-2} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{3}

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