(7 pontos) Para quais valores de a \in \mathbb{R} a seguinte função é contínua?
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{x^{2}-(a+1) x+a}{x-1} & , & x \neq 1 \\ a^{2}-5 & , & x=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-(a+1)x+a}{x-1}, & x\neq1,\\[6pt] a^{2}-5, & x=1, \end{cases}
e pede os valores de a\in\mathbb{R} para os quais f é contínua em todo \mathbb{R}. Como a parte x\neq1 é uma função racional que só pode falhar de ser contínua em x=1, basta exigir continuidade em x=1.]

Passo 2

Para estudar o comportamento de f(x) quando x\to1, simplificamos a expressão para x\neq1. Note que o numerador
N(x)=x^{2}-(a+1)x+a
satisfaz
N(1)=1-(a+1)+a=0,
logo x-1 é fator de N(x). Fazendo a divisão sintética por x-1, obtemos
\frac{x^{2}-(a+1)x+a}{x-1}=x - a,
para todo x\neq1.

Passo 3

Como para x\neq1 vale f(x)=x-a, o limite quando x\to1 é
\lim_{x\to1}f(x) =\lim_{x\to1}(x-a) =1 - a.

Passo 4

Para que f seja contínua em x=1, precisamos ter
\lim_{x\to1}f(x)=f(1).
Isto é,
1 - a = a^{2} - 5.
Reorganizando,
a^{2} + a - 6=0,
cuja solução é dada por
a=-3 \quad\text{ou}\quad a=2.

Resposta

Os valores de a que tornam f contínua em \mathbb{R} são
a=-3\quad\text{e}\quad a=2.

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