(2 pontos) Resolva a Equação de Bernoulli:
x \frac{d y}{d x}+y=-2 x^{6} y^{4}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x \frac{dy}{dx} + y = -2\,x^{6}\,y^{4}
e pede a solução geral. Isto é uma equação diferencial de Bernoulli, do tipo
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
com P(x)=\tfrac1x, Q(x)=-2\,x^{5} e n=4. Vamos usar a substituição padrão para Bernoulli.

Passo 2

Primeiro dividimos tudo por x para ter a forma
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = -2\,x^{5}\,y^{4}.

Passo 3

Na equação de Bernoulli usamos
u = y^{1-n} = y^{1-4} = y^{-3}.
Calculamos
\frac{du}{dx} = -3\,y^{-4}\,\frac{dy}{dx}.
Multiplicando a equação em y por -3\,y^{-4} obtemos uma equação linear em u:
-3\,y^{-4}\,\frac{dy}{dx} -3\,\frac{1}{x}\,y^{-3} = 6\,x^{5}.
Isto é
\frac{du}{dx} - \frac{3}{x}\,u = 6\,x^{5}.

Passo 4

Para resolver
\frac{du}{dx} - \frac{3}{x}\,u = 6\,x^{5}
calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int -\tfrac{3}{x}\,dx} = x^{-3}.
Multiplicando a equação por x^{-3} fica
\frac{d}{dx}\bigl(u\,x^{-3}\bigr) = 6\,x^{5}\,x^{-3} = 6\,x^{2}.
Integrando em x:
u\,x^{-3} = \int 6\,x^{2}\,dx = 2\,x^{3} + C,
ou seja
u = x^{3}\,(2\,x^{3} + C) = 2\,x^{6} + C\,x^{3}.

Passo 5

Voltando à variável y, lembramos que u=y^{-3}. Assim
y^{-3} = 2\,x^{6} + C\,x^{3}.
Invertemos e extraímos a raiz cúbica:
y^{3} = \frac{1}{2\,x^{6} + C\,x^{3}}, \qquad y = \Bigl(2\,x^{6} + C\,x^{3}\Bigr)^{-1/3}.
Podemos também fatorar x^{3} dentro do parêntesis e escrever
y = \frac{1}{x\,(2\,x^{3} + C)^{1/3}}.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{1}{x\,\bigl(2\,x^{3} + C\bigr)^{1/3}},}
com C constante arbitrária.

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