(4 pontos) Reduza a equação a uma EDO exata e encontre a solução geral.
y^{2} d x+(x y+1) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de primeira ordem
y^{2}\,dx + (x\,y + 1)\,dy = 0,
que não é exata à primeira vista. O conteúdo envolve equações diferenciais exatas e fator integrante, e vamos precisar testar exatidão, achar um fator integrante que dependa só de y e então integrar para obter a solução geral.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y^{2}, \quad N(x,y)=x\,y +1.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=2y, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=y.
Como 2y\neq y, a equação não é exata. Buscamos um fator integrante \mu que dependa só de y. Para isso, usamos a condição
\frac{\tfrac{\partial N}{\partial x}-\tfrac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{y-2y}{y^{2}} = -\frac{1}{y},
que depende apenas de y. Logo existe \mu=\mu(y).

Passo 3

A condição para \mu(y) é
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=-\frac{1}{y}.
Integramos ambos os lados:
\ln \mu(y) = -\ln y + C \quad\Longrightarrow\quad \mu(y)=\frac{1}{y}
(absorvendo a constante em multiplicação).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=1/y, obtendo
y\,dx + \bigl(x + \tfrac{1}{y}\bigr)\,dy = 0.
Agora M_{1}(x,y)=y e N_{1}(x,y)=x + 1/y. Verificamos
\frac{\partial M_{1}}{\partial y}=1, \quad \frac{\partial N_{1}}{\partial x}=1,
logo a equação é exata. Existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=y, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=x+\frac{1}{y}.

Passo 5

Integrando \partial\Phi/\partial x=y em relação a x:
\Phi(x,y)=x\,y + h(y).
Derivando em y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x + h'(y)
que deve igualar x+1/y. Logo h'(y)=1/y, e
h(y)=\ln y.
Portanto
\Phi(x,y)=x\,y + \ln y = C,
é a solução implícita geral.

Resposta

A solução geral é
x\,y + \ln y = C,
com C constante arbitrária.

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