(4 pontos) Reduza a equação a uma EDO exata e encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de primeira ordem
que não é exata à primeira vista. O conteúdo envolve equações diferenciais exatas e fator integrante, e vamos precisar testar exatidão, achar um fator integrante que dependa só de
e então integrar para obter a solução geral.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Buscamos um fator integrante
que dependa só de
. Para isso, usamos a condição
que depende apenas de
. Logo existe
.
Passo 3
A condição para
é
Integramos ambos os lados:
(absorvendo a constante em multiplicação).
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora
e
. Verificamos
logo a equação é exata. Existe
tal que
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Derivando em
:
que deve igualar
. Logo
, e
Portanto
é a solução implícita geral.
Resposta
A solução geral é
com
constante arbitrária.