(9 pontos)
Use a definição da derivada para calcular a inclinação da curva da função f(x)=x-2 x^{3} no ponto (-2, f(-2)).

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a inclinação da curva de f(x)=x-2x^3 no ponto cuja abscissa é -2.
O conteúdo usado aqui é a definição de derivada pelo limite, que nos dá a taxa de variação instantânea (inclinação) de f num ponto.

Passo 2

A definição da derivada de f em a é:
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Passo 3

Vamos calcular f(-2+h) e f(-2), e então a diferença:
\begin{aligned} (-2+h)^3 &= -8 + 12h -6h^2 + h^3,\\\ f(-2+h) &= (-2+h)\;-\;2(-2+h)^3 = 14 -23h +12h^2 -2h^3,\\\ f(-2) &= (-2)\;-\;2(-2)^3 = 14,\\\ f(-2+h)-f(-2) &= -23h +12h^2 -2h^3. \end{aligned}

Passo 4

Agora o quociente diferencial fica
\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = \frac{-23h +12h^2 -2h^3}{h} = -23 +12h -2h^2.

Passo 5

Finalmente, aplicando o limite quando h\to0:
f'(-2) = \lim_{h\to0}\bigl(-23 +12h -2h^2\bigr) = -23.

Resposta

-23

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