(9 pontos)
Use as regras de derivação e as derivadas conhecidas das aulas para calcular a derivada da função s(x)=\sqrt{1+\tan (x)}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
s(x)=\sqrt{1+\tan(x)}.
O tema envolvido é a regra da cadeia, usando também a derivada conhecida de \tan(x).

Passo 2

Vamos identificar as funções interna e externa. Defina
u(x)=1+\tan(x),
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s(x)=(u(x))^{\tfrac12}.
A função externa é f(u)=u^{\tfrac12} cuja derivada, por regra de potência, é
f'(u)=\tfrac12\,u^{-\tfrac12}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.

Passo 3

Agora a derivada da função interna u(x)=1+\tan(x). Sabendo que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(x)\bigr)=\operatorname{sec}^2(x),
temos
u'(x)=0+\operatorname{sec}^2(x)=\operatorname{sec}^2(x).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
s'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\;\operatorname{sec}^2(x) =\frac{1}{2\sqrt{1+\tan(x)}}\,\operatorname{sec}^2(x).

Resposta

s'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2(x)}{2\sqrt{1+\tan(x)}}.

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