Seja o campo vetorial definido por F(x, y)=(e^y sen(x), e^y cos (x)). Determine:
Se o campo F é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial definido por F(x, y) = (e^y sin(x), e^y cos(x)) . O objetivo aqui é descobrir se esse campo é conservativo. Para isso, vamos precisar saber o que é um campo conservativo e quais são os critérios para identificá-lo.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Isso significa que existe uma função phi(x, y) tal que F = nabla phi , onde nabla phi é o gradiente de phi .

Passo 3

Para verificar se o campo F é conservativo, vamos usar um critério simples: se F = (P, Q) , então F é conservativo se a derivada parcial de P em relação a y for igual à derivada parcial de Q em relação a x . Ou seja:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Se essa igualdade for verdadeira, o campo é conservativo.

Passo 4

Vamos identificar P e Q no nosso campo:
P = e^y sin(x) Q = e^y cos(x)
Agora, vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 5

Calculando partial Ppartial y :
partial Ppartial y = partialpartial y ( e^y sin(x) ) = e^y sin(x)
Pois a derivada de e^y em relação a y é e^y e sin(x) é tratado como constante.

Passo 6

Agora, calculando partial Qpartial x :
partial Qpartial x = partialpartial x ( e^y cos(x) ) = -e^y sin(x)
Aqui, a derivada da cos(x) em relação a x é -sin(x) e e^y permanece como constante.

Passo 7

Vamos comparar as duas derivadas:
partial Ppartial y = e^y sin(x) partial Qpartial x = -e^y sin(x)
Claramente, e^y sin(x) neq -e^y sin(x) a menos que sin(x) = 0 , o que não acontece para todo x .

Resposta

Portanto, o campo F(x, y) = (e^y sin(x), e^y cos(x)) não é conservativo.

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