Seja o campo vetorial definido por
. Determine:
Se o campo
é conservativo.
Se o campo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial definido por
. O objetivo aqui é descobrir se esse campo é conservativo. Para isso, vamos precisar saber o que é um campo conservativo e quais são os critérios para identificá-lo.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Isso significa que existe uma função
tal que
, onde
é o gradiente de
.
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, vamos usar um critério simples: se
, então
é conservativo se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
Se essa igualdade for verdadeira, o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 5
Calculando
:
Pois a derivada de
em relação a
é
e
é tratado como constante.
Passo 6
Agora, calculando
:
Aqui, a derivada da
em relação a
é
e
permanece como constante.
Passo 7
Vamos comparar as duas derivadas:
Claramente,
a menos que
, o que não acontece para todo
.
Resposta
Portanto, o campo
não é conservativo.