Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
lim x 0 x^2025 cdot sen(1x^2025)

Passo 1

Estamos buscando
limxto 0 x^2025,sin!l(tfrac1x^2025r)
O conteúdo aqui é o uso do Teorema do Aperto (ou Squeeze Theorem) para lidar com um produto de uma função que tende a zero e uma função oscilante e limitada.

Passo 2

Sabemos que, para todo real t,
-1 <= sin(t) <= 1
Logo, tomando t = tfrac1x^2025, segue
-1 ;<=;sin!l(tfrac1x^2025r);<=;1

Passo 3

Multiplicando essa desigualdade por x^2025, temos
-,|x^2025|;<=;x^2025,sin!l(tfrac1x^2025r);<=;|x^2025|
Como xto 0 implica |x^2025|to 0, pelos limites das funções constantes segue
limxto 0l(-|x^2025|r) ;=;0 e limxto 0|x^2025| ;=;0
Pelo Teorema do Aperto, concluímos que
limxto 0x^2025,sin!l(tfrac1x^2025r)=0

Resposta

0

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