Efetue a antidiferenciação.
46.
integral(2 t^2+1)^1 / 3 t^3 d t

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
integral (2t^2+1)^1/3,t^3,dt
O conteúdo aqui é técnica de mudança de variável (substituição), pois vemos um composto (2t^2+1) elevado a 1/3 e um fator t^3,dt que podemos relacionar a d(2t^2+1).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2t^2+1 Longrightarrow du = 4t,dt
Então t,dt = tfrac14du e, como t^2 = tfracu-12, obtemos
t^3,dt = t^2cdot t,dt = u-12cdot 14,du = u-18,du

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral (2t^2+1)^1/3,t^3,dt = integral u^1/3,u-18,du = 18integrall(u^4/3-u^1/3r),du

Passo 4

Agora integramos cada termo em u:
integral u^4/3,du = 37,u^7/3, integral u^1/3,du = 34,u^4/3
Portanto
18integrall(u^4/3-u^1/3r),du = 18l(37u^7/3-34u^4/3r) + C = 356u^7/3 - 332u^4/3 + C

Passo 5

Voltando a t com u=2t^2+1, obtemos a antiderivada final:

Resposta

356,(2t^2+1)^7/3 ;-;332,(2t^2+1)^4/3 + C

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