Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
lim x raiz2 x^4-4x-raiz2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtoraiz2x^4-4x-raiz2
Percebemos que, ao substituir x=raiz2 diretamente, obtemos uma forma indeterminada tfrac00. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação.

Passo 2

Testando a substituição direta:
(raiz2)^4-4raiz2-raiz2 =4-40 =00,
ou seja, é uma indeterminação do tipo tfrac00.

Passo 3

Fatoramos o numerador:
x^4-4=(x^2-2)(x^2+2) =(x-raiz2)(x+raiz2)(x^2+2)

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x-raiz2):
x^4-4x-raiz2 =(x-raiz2)(x+raiz2)(x^2+2)x-raiz2 =(x+raiz2)(x^2+2), xneqraiz2

Passo 5

Agora basta avaliar em x=raiz2:
(x+raiz2)(x^2+2)|x=raiz2 =(raiz2+raiz2)l((raiz2)^2+2r) =2raiz2cdot(2+2) =8raiz2

Resposta

8raiz2

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