Efetue a antidiferenciação.
40.
integral sec ^2 3 raiztraizt d t

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada de
integral sec^2l(3raiztr)raizt,dt
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois temos uma função composta sec^2(3raizt) e um fator tfrac1raizt que sugere diferenciar 3raizt.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3raizt = 3,t^1/2
Diferenciando,
du = 32t^-1/2,dt = 32raizt,dt Longrightarrow dt = 2raizt3,du

Passo 3

Substituindo na integral, o fator raizt se cancela:
integral sec^2(3raizt)raizt,dt = integral sec^2(u)raizt;2raizt3,du = 23integral sec^2(u),du

Passo 4

Sabemos que
integral sec^2(u),du = tan(u)+C
Portanto
23integral sec^2(u),du = 23tan(u)+C

Passo 5

Voltando à variável original t com u=3raizt, a antiderivada é
23,tanl(3raiztr)+C

Resposta

23,tanl(3raiztr)+C

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