Calcule os seguintes limites:
e.
e.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas: ao substituir
diretamente obtemos
ou seja, a expressão assume a forma indeterminada
. Isso indica que não podemos concluir o valor do limite apenas pela substituição e precisamos manipular algebricamente a expressão para removê-la.
Passo 2
Estratégia escolhida: fatorar polinômios e simplificar a fração. Justificativa informal: quando uma expressão gera
, muitas vezes há um fator comum que zera numerador e denominador (por exemplo
aqui). Ao fatorar e cancelar esse fator, obtemos uma função equivalente em todo ponto próximo a
(exceto possivelmente em
em si), e então podemos avaliar o limite por substituição. Esta é uma técnica básica e rápida, mais simples do que usar regras como L’Hôpital para um caso elementar.
Agora vou ensinar como fatorar os dois polinômios passo a passo.
Passo a passo para fatorar o numerador
:
- Procuramos dois números que multiplicados deem o termo constante
e somados dêem o coeficiente de , que é . - Os números
e satisfazem isso, pois e . - Logo podemos decompor o trinômio por fatoração por soma/produto:
Verificação rápida (expandindo):
.
Fatoração do denominador
:
- Reconhecemos uma diferença de quadrados:
. - A fórmula da diferença de quadrados é
. - Aplicando com
e :
Passo 3
Substituindo as fatorações na fração original, obtemos (lembrando que essa igualdade vale para
, onde não dividimos por zero):
Como
aparece em numerador e denominador e estamos interessados no limite quando
se aproxima de
(não no valor exatamente em
), podemos cancelar o fator comum para
:
Explicação curta: cancelamos porque limite considera valores de
próximos de
, onde a expressão simplificada coincide com a original (exceto possivelmente no ponto
em si).
Passo 4
Agora trabalhamos com a função simplificada
. Esta é uma função racional que é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero; em particular, em
o denominador
é diferente de zero, então podemos avaliar o limite por substituição direta:
Mostrei passo a passo: somei
a
no numerador para obter
e somei
a
no denominador para obter
, depois formei a fração
.
Passo 5
Interpretação final: a singularidade em
da expressão original é removível — isto é, a função original tem forma
em
mas o limite existe e vale
. No contexto de prova, o procedimento que fiz (fatorar, cancelar e substituir) é o caminho padrão para esse tipo de limite.