Calcule os seguintes limites:
e. \lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-3 x-4}{x^{2}-16}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-3x-4}{x^{2}-16}.
Informações dadas e observações imediatas: ao substituir x=4 diretamente obtemos
\frac{4^{2}-3\cdot4-4}{4^{2}-16}=\frac{16-12-4}{16-16}=\frac{0}{0},
ou seja, a expressão assume a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso indica que não podemos concluir o valor do limite apenas pela substituição e precisamos manipular algebricamente a expressão para removê-la.

Passo 2

Estratégia escolhida: fatorar polinômios e simplificar a fração. Justificativa informal: quando uma expressão gera \tfrac{0}{0}, muitas vezes há um fator comum que zera numerador e denominador (por exemplo x-4 aqui). Ao fatorar e cancelar esse fator, obtemos uma função equivalente em todo ponto próximo a x=4 (exceto possivelmente em x=4 em si), e então podemos avaliar o limite por substituição. Esta é uma técnica básica e rápida, mais simples do que usar regras como L’Hôpital para um caso elementar.
Agora vou ensinar como fatorar os dois polinômios passo a passo.
Passo a passo para fatorar o numerador x^{2}-3x-4:
  • Procuramos dois números que multiplicados deem o termo constante -4 e somados dêem o coeficiente de x, que é -3.
  • Os números -4 e 1 satisfazem isso, pois (-4)\cdot 1 = -4 e (-4)+1=-3.
  • Logo podemos decompor o trinômio por fatoração por soma/produto:
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).
Verificação rápida (expandindo): (x-4)(x+1)=x^{2}-4x+x-4=x^{2}-3x-4.
Fatoração do denominador x^{2}-16:
  • Reconhecemos uma diferença de quadrados: x^{2}-16 = x^{2} - 4^{2}.
  • A fórmula da diferença de quadrados é a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
  • Aplicando com a=x e b=4:
x^{2}-16=(x-4)(x+4).

Passo 3

Substituindo as fatorações na fração original, obtemos (lembrando que essa igualdade vale para x\neq 4, onde não dividimos por zero):
\frac{x^{2}-3x-4}{x^{2}-16}=\frac{(x-4)(x+1)}{(x-4)(x+4)}.
Como (x-4) aparece em numerador e denominador e estamos interessados no limite quando x se aproxima de 4 (não no valor exatamente em 4), podemos cancelar o fator comum para x\neq 4:
\frac{(x-4)(x+1)}{(x-4)(x+4)}=\frac{x+1}{x+4}\quad\text{para }x\neq 4.
Explicação curta: cancelamos porque limite considera valores de x próximos de 4, onde a expressão simplificada coincide com a original (exceto possivelmente no ponto 4 em si).

Passo 4

Agora trabalhamos com a função simplificada \dfrac{x+1}{x+4}. Esta é uma função racional que é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero; em particular, em x=4 o denominador 4+4 é diferente de zero, então podemos avaliar o limite por substituição direta:
\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x+1}{x+4}=\frac{4+1}{4+4}=\frac{5}{8}.
Mostrei passo a passo: somei 1 a 4 no numerador para obter 5 e somei 4 a 4 no denominador para obter 8, depois formei a fração \tfrac{5}{8}.

Passo 5

Interpretação final: a singularidade em x=4 da expressão original é removível — isto é, a função original tem forma \tfrac{0}{0} em x=4 mas o limite existe e vale \tfrac{5}{8}. No contexto de prova, o procedimento que fiz (fatorar, cancelar e substituir) é o caminho padrão para esse tipo de limite.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{8}

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