Exercício 3. Considere o campo vetorial
\vec{E}(x, y, z)=Q \frac{(x, y, z)}{\|(x, y, z)\|^{3}}
\operatorname{com} Q denotando uma constante não nula.
(b) (1.0 ponto) Calcule a integral de superficie de \vec{E} sobre a esfera de raio 1 centrada no ponto (0,0,2), com oriętação apontando para fora da esfera.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{E}(x,y,z)=Q\,\frac{(x,y,z)}{\|(x,y,z)\|^{3}}
e pede o fluxo de \vec{E} através da superfície da esfera de raio 1 centrada em (0,0,2), com orientação para fora. O conteúdo usado será o Teorema da Divergência (ou Lei de Gauss para o campo eletrostático), que relaciona fluxo à carga (singularidade) encerrada.

Passo 2

Verificamos se a singularidade do campo, que está na origem (0,0,0), fica dentro da esfera pedida. A distância do centro (0,0,2) até a origem é
\sqrt{0^{2}+0^{2}+(2)^{2}}=2,
que é maior que o raio 1. Logo, a origem está fora da esfera e, portanto, não há singularidade (carga) no interior.

Passo 3

Para pontos fora da origem, o campo \vec{E} satisfaz \nabla\cdot\vec{E}=0. Assim, pelo Teorema da Divergência, o fluxo sobre qualquer superfície fechada sem singularidade interna é
\iint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{E})\,dV =0.

Resposta

O valor da integral de superfície é 0.

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