Exercício 3. Considere o campo vetorial
denotando uma constante não nula.
(b)
ponto) Calcule a integral de superficie de
sobre a esfera de raio 1 centrada no ponto
, com oriętação apontando para fora da esfera.
(b)
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede o fluxo de
através da superfície da esfera de raio
centrada em
, com orientação para fora. O conteúdo usado será o Teorema da Divergência (ou Lei de Gauss para o campo eletrostático), que relaciona fluxo à carga (singularidade) encerrada.
Passo 2
Verificamos se a singularidade do campo, que está na origem
, fica dentro da esfera pedida. A distância do centro
até a origem é
que é maior que o raio
. Logo, a origem está fora da esfera e, portanto, não há singularidade (carga) no interior.
Passo 3
Para pontos fora da origem, o campo
satisfaz
. Assim, pelo Teorema da Divergência, o fluxo sobre qualquer superfície fechada sem singularidade interna é
Resposta
O valor da integral de superfície é
.