Exercício 2. (2.0 pontos) Mostre rigorosamente que não é possível construir um campo vetorial \vec{G} tal que \nabla \times \vec{G}=(x,-y \cos z, \sin (z)).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe um campo vetorial \vec{G}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com
\nabla \times \vec{G} = \bigl(x,\,-y\cos z,\,\sin z\bigr).
O conteúdo principal aqui é a propriedade de que todo rotacional tem divergência zero:
\forall \vec{G}\in C^2,\quad \nabla\cdot\bigl(\nabla\times\vec{G}\bigr)=0.

Passo 2

Usamos o teorema que diz que, para qualquer campo vetorial \vec{G} com derivadas parciais contínuas duas vezes, vale
\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\vec{G}\bigr)=0.
Portanto, se \vec{F}=(x,-y\cos z,\sin z) fosse um rotacional, deveríamos ter \nabla\cdot\vec{F}=0.

Passo 3

Calculamos a divergência de
\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\bigl(x,\,-y\cos z,\,\sin z\bigr):
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y\cos z\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\sin z\bigr).
Como \cos z é constante em relação a y e \sin z depende só de z, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}(x)=1,\quad \frac{\partial}{\partial y}(-y\cos z)=-\cos z,\quad \frac{\partial}{\partial z}(\sin z)=\cos z.

Passo 4

Somando os três termos:
\nabla\cdot\vec{F} =1 + (-\cos z) + \cos z =1.
Logo \nabla\cdot\vec{F}=1\neq0.

Passo 5

Como a divergência de \nabla\times\vec{G} teria de ser zero, mas a divergência do campo dado é 1, chegamos a uma contradição. Portanto não existe campo \vec{G} tal que
\nabla\times\vec{G}=(x,-y\cos z,\sin z).

Resposta

Não existe tal campo vetorial \vec{G}, pois um rotacional deve ter divergência zero, e o campo dado tem divergência 1.

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