Exercício 2. (2.0 pontos) Mostre rigorosamente que não é possível construir um campo vetorial
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe um campo vetorial
com
O conteúdo principal aqui é a propriedade de que todo rotacional tem divergência zero:
Passo 2
Usamos o teorema que diz que, para qualquer campo vetorial
com derivadas parciais contínuas duas vezes, vale
Portanto, se
fosse um rotacional, deveríamos ter
.
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Como
é constante em relação a
e
depende só de
, obtemos
Passo 4
Somando os três termos:
Logo
.
Passo 5
Como a divergência de
teria de ser zero, mas a divergência do campo dado é
, chegamos a uma contradição. Portanto não existe campo
tal que
Resposta
Não existe tal campo vetorial
, pois um rotacional deve ter divergência zero, e o campo dado tem divergência
.