Calcule os seguintes limites. Lembre que lim x infty(1+1x)^x=e, ou ainda, lim u 0(1+u)^1u=e.
a) lim x +infty(1+1x)^x-3
b) lim x +infty(1-2x)^3 x
c) lim x 0(1+4 x)^1x
d) lim x +infty(x^2+1x^2-3)^x^2
e) lim x 0 ln (1+2 x)3 x
f) lim x 0 a xe^b x-1
g) lim x 0 log 2(x+1)x
h) lim x infty(1-1x^2)^x
i) lim x 0 e^3 x-1e^-x-1
j) lim x 0 ln (x^2+1)x^2+1-cos (x)
k) lim x +infty ln (2 x+3)ln (5 x+7)+3
l) lim x 0 13^x-8^xx
m) lim x infty arctan (2 x^5-x5 x^3+x^2)
n) lim x infty arccos (x^3+xx^3+x^2)
o) Esses limites definem assíntotas verticais ou horizontais? Quais as equações destas assíntotas?

Passo 1

O exercício pede pra gente calcular vários limites envolvendo formas como
limxtoinftyl(1+1xr)^x=e,limuto0(1+u)^1/u=e
e também usar expansões de séries (por ex. ln(1+u)sim u, e^u-1sim u) e regra de l’Hôpital quando necessário. No final (item o) a gente vai relacionar os limites em xtoinfty (ou em pontos de quebra) com assíntotas horizontais (se o limite em pminfty for finito) ou verticais (se o limite em xto a for pminfty).

Passo 2

Resolvendo (a) a (d):
a) limxto+inftyl(1+1xr)^x-3 =lim (1+tfrac1x)^x,(1+tfrac1x)^-3=ecdot1=e
b) limxto+infty(1-tfrac2x)^3x =l[lim(1-tfrac2x)^xr]^3=(e^-2)^3=e^-6
c) limxto0(1+4x)^1/x.
Use u=4xto0, então (1+4x)^1/x=(1+u)^4/uto e^4
d) limxto+inftyl(x^2+1x^2-3r)^x^2.
Escreva x^2+1x^2-3=1+4x^2-3; o “desvio” tfrac4x^2-3cdot x^2to4,
logo o limite é e^4.

Passo 3

Resolvendo (e) a (h):
e) limxto0ln(1+2x)3xsim2x3x=tfrac23
f) limxto0axe^bx-1simaxbx= ab
g) limxto0log2(1+x)x =limln(1+x)xcdot1ln2=1ln2
h) limxto+infty(1-tfrac1x^2)^x.
O “desvio” -tfrac1x^2cdot x=-tfrac1xto0, então é e^0=1.

Passo 4

Resolvendo (i) a (l):
i) limxto0e^3x-1e^-x-1sim3x-x=-3
j) limxto0ln(1+x^2),x^2+1-cos x,.
Numerador sim x^2, denom. =x^2+(1-cos x)sim x^2+tfrac12x^2=tfrac32x^2,
razão tfracx^2tfrac32x^2=tfrac23
k) limxto+inftyln(2x+3)ln(5x+7)+3simln xln x=1
l) limxto013^x-8^xx.
Use a^x=e^xln asim1+xln a, daí numerador sim x(ln13-ln8), razão =ln(13/8)

Passo 5

Resolvendo (m) e (n):
m) limxtoinftyarctan!l(2x^5-x5x^3+x^2r).
O quociente sim2x^55x^3=tfrac25x^2to+infty, logo arctantopi2
n) limxtoinftyarccos!l(x^3+xx^3+x^2r).
O quociente to1, então arccos(1)=0

Passo 6

Assíntotas horizontais ou verticais?
– Assíntota horizontal y=L se limxtopminftyf(x)=L.
Dos itens acima só (a), (b), (d), (h), (k), (m) e (n) têm limite em xtoinfty, logo:
y=e (a), y=e^{-6} (b), y=e^4 (d), y=1 (h e k), y=\tfrac\pi2 (m), y=0 (n).
– Não há assíntotas verticais, pois nenhum limite em ponto finito deu ±∞.

Resposta

a) e
b) e^-6
c) e^4
d) e^4
e) tfrac23
f) tfracab
g) tfrac1ln2
h) 1
i) -3
j) tfrac23
k) 1
l) lnl(tfrac138r)
m) tfracpi2
n) 0
o) Assíntotas horizontais:
y=e, y=e^{-6}, y=e^4, y=1 (duas vezes), y=\tfrac\pi2, y=0.
Não há assíntotas verticais.

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