Calcule os seguintes limites. Lembre que
, ou ainda,
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o) Esses limites definem assíntotas verticais ou horizontais? Quais as equações destas assíntotas?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o) Esses limites definem assíntotas verticais ou horizontais? Quais as equações destas assíntotas?
Passo 1
O exercício pede pra gente calcular vários limites envolvendo formas como
e também usar expansões de séries (por ex.
,
) e regra de l’Hôpital quando necessário. No final (item o) a gente vai relacionar os limites em
(ou em pontos de quebra) com assíntotas horizontais (se o limite em
for finito) ou verticais (se o limite em
for
).
Passo 2
Resolvendo (a) a (d):
a)
a)
b)
c)
.
Use , então
Use
d)
.
Escreva ; o “desvio”
,
logo o limite é .
Escreva
logo o limite é
Passo 3
Resolvendo (e) a (h):
e)
e)
f)
g)
h)
.
O “desvio” , então é
.
O “desvio”
Passo 4
Resolvendo (i) a (l):
i)
i)
j)
.
Numerador , denom.
,
razão
Numerador
razão
k)
l)
.
Use , daí numerador
, razão
Use
Passo 5
Resolvendo (m) e (n):
m) .
O quociente , logo
m)
O quociente
n)
.
O quociente , então
O quociente
Passo 6
Assíntotas horizontais ou verticais?
– Assíntota horizontal se
.
Dos itens acima só (a), (b), (d), (h), (k), (m) e (n) têm limite em , logo:
y=e (a), y=e^{-6} (b), y=e^4 (d), y=1 (h e k), y=\tfrac\pi2 (m), y=0 (n).
– Não há assíntotas verticais, pois nenhum limite em ponto finito deu ±∞.
– Assíntota horizontal
Dos itens acima só (a), (b), (d), (h), (k), (m) e (n) têm limite em
y=e (a), y=e^{-6} (b), y=e^4 (d), y=1 (h e k), y=\tfrac\pi2 (m), y=0 (n).
– Não há assíntotas verticais, pois nenhum limite em ponto finito deu ±∞.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o) Assíntotas horizontais:
y=e, y=e^{-6}, y=e^4, y=1 (duas vezes), y=\tfrac\pi2, y=0.
Não há assíntotas verticais.
y=e, y=e^{-6}, y=e^4, y=1 (duas vezes), y=\tfrac\pi2, y=0.
Não há assíntotas verticais.