Verdadeiro ou Falso? Justifique.
(a) Se
, então
é contínua em
.
(Dica: considere a função
e
.)
(b) Se
é contínua em
não é contínua em
então
não é contínua em
.
(a) Se
(Dica: considere a função
(b) Se
Passo 1
O enunciado pede para decidirmos se duas afirmações sobre continuidade são verdadeiras ou falsas, e justificar cada resposta. O conteúdo envolve limites laterais, definição de continuidade e composição de funções.
Passo 2
(a) A afirmação é: “Se
, então
é contínua em
.”
Teoria: para ser contínua em
é preciso que existam os dois limites laterais iguais a
. Igualdade apenas dos limites laterais não garante que
esteja definido ou que valha esse mesmo número.
Considere e
. Para
fatoramos
Teoria: para
Considere
Logo
Porém
não está definido, ou seja, não existe
. Assim
não é contínua em
.
Passo 3
Conclusão de (a): a condição
sozinha não garante continuidade, pois falta a igualdade com
. Portanto a afirmação é Falsa.
Passo 4
(b) A afirmação é: “Se
Aqui (pois
), mas
é contínua em
. Entretanto
que é uma função constante e, portanto, contínua em
.
Passo 5
Conclusão de (b): mesmo com
contínua em
e
descontínua em
, é possível ter
contínua. Logo a afirmação é Falsa.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(b) Falsa.