Verdadeiro ou Falso? Justifique.
(a) Se lim x x0^+ f(x)=lim x x0^- f(x), então f é contínua em x0.
(Dica: considere a função f(x)=x^2-3 x+2x-1 e x0=1.)
(b) Se f é contínua em g(x0), g não é contínua em x0 então f circ g não é contínua em x0.

Passo 1

O enunciado pede para decidirmos se duas afirmações sobre continuidade são verdadeiras ou falsas, e justificar cada resposta. O conteúdo envolve limites laterais, definição de continuidade e composição de funções.

Passo 2

(a) A afirmação é: “Se limxto x0^+f(x)=limxto x0^-f(x), então f é contínua em x0.”
Teoria: para f ser contínua em x0 é preciso que existam os dois limites laterais iguais a f(x0). Igualdade apenas dos limites laterais não garante que f(x0) esteja definido ou que valha esse mesmo número.
Considere f(x)=x^2-3x+2x-1 e x0=1. Para xneq1 fatoramos
f(x)=(x-1)(x-2)x-1=x-2
Logo
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=1-2=-1
Porém f(1) não está definido, ou seja, não existe f(1)=-1. Assim f não é contínua em 1.

Passo 3

Conclusão de (a): a condição limxto x0^+f(x)=limxto x0^-f(x) sozinha não garante continuidade, pois falta a igualdade com f(x0). Portanto a afirmação é Falsa.

Passo 4

(b) A afirmação é: “Se
Aqui (pois ), mas é contínua em . Entretanto
que é uma função constante e, portanto, contínua em .

Passo 5

Conclusão de (b): mesmo com f contínua em g(x0) e g descontínua em x0, é possível ter fcirc g contínua. Logo a afirmação é Falsa.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.

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