Para os itens a seguir, encontre as parametrizações para as seguintes superfícies.
A porção do parabolóide z=x^2+y^2, para 0 <= z <= 9.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da porção do parabolóide ,z=x^2+y^2, limitada por 0<= z<=9. O conteúdo aqui é parametrização de superfícies, e vamos usar coordenadas cilíndricas para aproveitar a simetria de revolução do paraboloide.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, tomamos dois parâmetros (r,theta) tais que
x = rcostheta, y = rsintheta
Como na superfície temos z = x^2+y^2, isso vira
z = r^2
Para cobrir toda a porção com 0<= z<=9, basta exigir 0<= r<=3 (pois r^2<=9) e 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Definimos então a aplicação vetorial Phicolon DtoR^3 por
Phi(r,theta)=l(rcostheta,;rsintheta,;r^2r),
com domínio
D=(r,theta)mid 0<= r<=3,;0<=theta<=2pi

Resposta

A parametrização da superfície é
Phi(r,theta)=l(rcostheta,;rsintheta,;r^2r), 0<= r<=3,;0<=theta<=2pi

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