Seja S uma superfície parametrizada por
r(u, v)=(v cos u, v sin u, 1-v^2), 0 <= u <= 2 pi, v >= 0
Identifique esta superfície. Ela é suave? (Resp.: parabolóide circular; S é suave exceto no ponto ( 0,0,1 ).)

Passo 1

O enunciado apresenta a superfície parametrizada por
r(u,v)=l(vcos u,;vsin u,;1-v^2r), 0<= u<=2pi,;v>=0
O objetivo é (a) identificar geometricamente essa superfície e (b) verificar se ela é suave. Para isso vamos:
  1. Eliminar os parâmetros para obter a equação em x,y,z.
  2. Calcular ru e rv e examinar rutimes rv.

Passo 2

Das primeiras duas componentes temos
x=vcos u, y=vsin u
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v^2=x^2+y^2
Na terceira componente aparece
z=1-v^2,
então substituindo v^2 obtemos
z=1-(x^2+y^2)
Esta é a equação de um parabolóide circular voltado para baixo, com vértice em (0,0,1).

Passo 3

Para verificar suavidade, calculemos as derivadas parciais:
ru=l(-vsin u,;vcos u,;0r), rv=l(cos u,;sin u,;-2vr)
O vetor normal é
rutimes rv =l(-2v^2cos u,;-2v^2sin u,;-vr)
O módulo desse vetor vale
| rutimes rv| =raiz4v^4+v^2 =vraiz4v^2+1
Esse módulo é zero somente quando v=0, que corresponde ao ponto (x,y,z)=(0,0,1).

Resposta

A superfície é um parabolóide circular invertido com vértice em (0,0,1).
Ela é suave para todo v>0 e deixa de ser suave apenas em (0,0,1).

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