Seja
uma superfície parametrizada por
Identifique esta superfície. Ela é suave? (Resp.: parabolóide circular; S é suave exceto no ponto (
).)
Passo 1
O enunciado apresenta a superfície parametrizada por
O objetivo é (a) identificar geometricamente essa superfície e (b) verificar se ela é suave. Para isso vamos:
- Eliminar os parâmetros para obter a equação em
. - Calcular
e e examinar .
Passo 2
Das primeiras duas componentes temos
logo
Na terceira componente aparece
então substituindo
obtemos
Esta é a equação de um parabolóide circular voltado para baixo, com vértice em
.
Passo 3
Para verificar suavidade, calculemos as derivadas parciais:
O vetor normal é
O módulo desse vetor vale
Esse módulo é zero somente quando
, que corresponde ao ponto
.
Resposta
A superfície é um parabolóide circular invertido com vértice em
.
Ela é suave para todo e deixa de ser suave apenas em
.
Ela é suave para todo