Calcule os seguintes limites. Lembre-se que o limite trigonométrico fundamental nos diz que
lim x 0 sen(x)x=1
lim x 0 x-x cos (x)sen^2(2 x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto 0x - xcos(x)sen^2(2x)
O conteúdo usado aqui é limite de funções trigonométricas e, em especial, o limite fundamental
limuto 0sen(u)u=1

Passo 2

Para simplificar o numerador, usamos a identidade
1-cos(x)=2sen^2l(x2r)
Logo,
x - xcos(x)=xl(1-cos(x)r) =2x,sen^2l(x2r)

Passo 3

Com isso, o limite fica
limxto 02x,sen^2l(x2r)sen^2(2x) = limxto 02x;gl(sen!l(tfracx2r)sen(2x)gr)^2

Passo 4

Vamos analisar a razão interna:
senl(tfracx2r)sen(2x) =senl(tfracx2r)tfracx2;g/;sen(2x)2x;times;tfracx22x
Quando xto0, aplicamos sen(u)/uto1 e obtemos
senl(tfracx2r)sen(2x);longrightarrow;1;g/;1;times;14 =14

Passo 5

Substituindo esse resultado no limite de

Passo 6

limxto 02x;l(tfrac14r)^2 = limxto 02x;116 = limxto 0x8 =0

Resposta

O valor do limite é 0.

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