(2,5 pontos) Seja R a região delimitada pela elipse x^24+y^29=1. Calcule a integral dupla
integral duplaR 36-9 x^2-4 y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral dupla integral duplaR(36 - 9x^2 - 4y^2),dx,dy, onde R é a elipse x^24+y^29=1. Este é um problema de integração em região elíptica; vamos usar mudança de variáveis para transformar R num disco unidade e depois aplicar coordenadas polares.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a troca x=2u, y=3v. Nessas variáveis, a elipse x^24+y^29=1 vira u^2+v^2=1 (um disco de raio 1). Precisamos também do jacobiano dessa transformação:

Passo 3

J=|partial(x,y)partial(u,v)|=2 & 00 & 3=6

Passo 4

Substituindo no integrando, temos

Passo 5

36 - 9x^2 - 4y^2 = 36 - 9(2u)^2 - 4(3v)^2 =36 -36u^2 -36v^2 =36(1 - u^2 - v^2)

Passo 6

Então a integral original vira

Passo 7

integral duplaR(36 - 9x^2 - 4y^2),dx,dy = integral duplau^2+v^2<=136(1-u^2-v^2)cdot 6,du,dv =216integral duplaD(1-u^2-v^2),du,dv,

Passo 8

onde D é o disco u^2+v^2<=1. Agora usamos coordenadas polares u=rcostheta,;v=rsintheta,;du,dv=r,dr,dtheta.

Passo 9

A integral em polares fica

Passo 10

216integral0^2piintegral0^1(1-r^2),r,dr,dtheta

Passo 11

Calculando o integral em r:

Passo 12

integral0^1(r - r^3),dr = [r^22 - r^44]0^1 = 12 - 14 = 14

Passo 13

Logo

Passo 14

216integral0^2pi14,dtheta =216cdot14cdot 2pi =54cdot2pi =108pi

Resposta

108\pi

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