(2,5 pontos) Esboce a região B delimitada pelas curvas x^2+y^2=2 y, y=raiz33 x e x=0. Usando integral dupla, calcule a área de B.
Boa Prova!

Passo 1

O enunciado pede a área da região B limitada pela circunferência
x^2+y^2=2y,
pela reta
y=raiz33x
e pelo eixo vertical
x=0
O conteúdo aqui é cálculo de área por integral dupla, e vamos usar coordenadas polares para simplificar a equação da circunferência.

Passo 2

Reescrevendo a circunferência em coordenadas cartesianas completamos quadrado:
x^2+y^2-2y=0 ;Longrightarrow; x^2+(y-1)^2=1,
que é um círculo de raio 1 centrado em (0,1). Em coordenadas polares l(x=rcostheta,;y=rsinthetar), essa curva vira
r^2cos^2theta+l(rsintheta-1r)^2=1 ;Longrightarrow; r=2sintheta(rneq0)
A reta y=(raiz3/3)x corresponde a theta=arctan(raiz3/3)=pi/6, e a reta x=0 é theta=pi/2. Logo, o ângulo theta varia de pi/6 até pi/2 e r vai de 0 até 2sintheta.

Passo 3

O elemento de área em polares é dA=r,dr,dtheta. Assim,
Área(B) =integraltheta=pi/6^pi/2integralr=0^2sinthetar,dr,dtheta Á

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^2sinthetar,dr =r^22|0^2sintheta =(2sintheta)^22 =2sin^2theta
Logo
Área(B) =integralpi/6^pi/22sin^2theta,dtheta =integralpi/6^pi/2l(1-cos2thetar),dtheta Á
Integrando em theta:
integrall(1-cos2thetar)dtheta =theta-sin2theta2,
avaliado de pi/6 a pi/2
l[theta-tfracsin2theta2r]pi/6^pi/2 =l(tfracpi2-0r) -l(tfracpi6-tfracsin(pi/3)2r) =pi3+raiz34

Resposta

Área(B)=pi3+raiz34 Á

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