Calcule os seguintes limites. Lembre-se que 1^{ \pm \infty} é um símbolo de indeterminação.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{3 x+1}{2 x+3}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\frac{3x+1}{2x+3}\Bigr)^{x}.
O conteúdo aqui é limite de função com forma exponencial. Vamos usar a transformação
a^b = e^{\,b\ln a}
para analisar o comportamento do expoente.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to -\infty}\Bigl(\frac{3x+1}{2x+3}\Bigr)^{x} = \lim_{x\to -\infty} e^{\,x\ln\bigl(\frac{3x+1}{2x+3}\bigr)}.
Basta estudar o expoente
E(x) = x\;\ln\!\Bigl(\frac{3x+1}{2x+3}\Bigr).

Passo 3

Para x\to -\infty temos
\frac{3x+1}{2x+3}\to \frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl(\frac{3x+1}{2x+3}\Bigr)\to \ln\frac{3}{2}>0.
Logo, assintoticamente,
E(x)\sim x\,\ln\frac{3}{2}.
Como \ln\frac{3}{2}>0 e x\to -\infty, segue que E(x)\to -\infty.

Passo 4

Concluímos
L = \lim_{x\to -\infty}e^{E(x)} = e^{-\infty} = 0.

Resposta

0

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