Calcule os seguintes limites. Lembre-se que 1^{ \pm \infty} é um símbolo de indeterminação.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1-\frac{1}{3 x}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede
L = \lim_{x\to -\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{3x}\Bigr)^{2x},
que é uma indeterminação do tipo 1^{-\infty}. Para resolver, vamos usar a técnica de tomar o logaritmo natural e depois retornar pela exponencial:
L = \exp\bigl(\lim_{x\to -\infty}2x\ln\bigl(1-\tfrac{1}{3x}\bigr)\bigr).

Passo 2

Estimamos o logaritmo para x\to -\infty. Como t=-\tfrac{1}{3x}\to0, vale
\ln(1+t)=t+o(t).
Aqui t=-\tfrac{1}{3x}, então
\ln\Bigl(1-\frac{1}{3x}\Bigr) =-\frac{1}{3x}+o\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr),
e daí
\lim_{x\to -\infty}2x\ln\Bigl(1-\frac{1}{3x}\Bigr) =\lim_{x\to -\infty}2x\Bigl(-\frac{1}{3x}+o\bigl(\tfrac1x\bigr)\Bigr) =-\frac{2}{3}.
Portanto
L=\exp\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)=e^{-\tfrac{2}{3}}.

Resposta

e^{-\tfrac{2}{3}}

Exercícios relacionados