Sendo f(x)=2^{\frac{1}{x}}, calcule os limites laterais \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x).

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais de f(x)=2^{\frac{1}{x}} quando x se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda. Vamos usar a ideia de que, conforme x varia, o expoente \frac{1}{x} tende a +\infty ou -\infty e aplicar a propriedade da função exponencial com base maior que 1.

Passo 2

Para x\to0^+, temos x>0 muito pequeno, então
\frac{1}{x}\to+\infty.
Como a base 2>1, a exponencial cresce sem limite quando o expoente vai a +\infty. Logo,
\lim_{x\to0^+}2^{\frac{1}{x}}=+\infty.

Passo 3

Para x\to0^-, temos x<0 muito próximo de zero, portanto
\frac{1}{x}\to-\infty.
Nesse caso, a exponencial com base maior que 1 tende a zero quando o expoente vai a -\infty. Assim,
\lim_{x\to0^-}2^{\frac{1}{x}}=0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=+\infty
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=0

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