é finito. Isso significa que f: R R^n tem comprimento finito no intervalo lim t infty f(t).
Obs: Dada uma curva lim t infty f(t) doteq(lim t infty f1(t), ldots, lim t infty fn(t)), , definimos lim t infty fj(t) pondo
O
se cada um dos limites lim t -infty f(t) existe. ( caso é análogo)
Passo 1
O enunciado define a curva paramétrica γ(t)= (a e^{b t} cos(t), a e^{b t} sen(t)) em ℝ, com a>0 e b<0. Vamos usar teoria de limites de funções reais, representação polar para esboçar a curva, derivação componente a componente e fórmula de comprimento de arco L=∫|γ′(t)|dt para mostrar que esse comprimento converge.
Passo 2
Para (a), note que para b<0 temos lim_{t→∞}e^{b t}=0. Como cos(t) e sen(t) são funções limitadas em [-1,1], segue que cada componente de γ(t) tende a zero. Logo,
limttoinftygamma(t)=(0,0)
Passo 3
Para (b), observe que γ está em coordenadas polares com raio r(t)=a e^{b t} (decrescente exponencial) e ângulo θ(t)=t (aumenta linearmente). Isso é exatamente uma espiral que vai enrolando em torno da origem com raio decrescente. No esboço, traçamos uma espiral indo de t=t₀ para t→∞ aproximando-se de (0,0).