Exercício 3 Sejam a eb dois números reais, com a>0 eb<0. Considere a curva gamma(t)= R definida em t infty.
(a) Mostre que quando gamma(t) 0, tem-se gamma.
(b) Faça um esboço do traço de gamma^prime(t) (0,0);
© Mostre que t infty e, quando lim t infty integralt0^t|gamma^prime(t)| d t , além disso, o limite
gamma
é finito. Isso significa que f: R R^n tem comprimento finito no intervalo lim t infty f(t).
Obs: Dada uma curva lim t infty f(t) doteq(lim t infty f1(t), ldots, lim t infty fn(t)), , definimos lim t infty fj(t) pondo
O
se cada um dos limites lim t -infty f(t) existe. ( caso é análogo)

Passo 1

O enunciado define a curva paramétrica γ(t)= (a e^{b t} cos(t), a e^{b t} sen(t)) em ℝ, com a>0 e b<0. Vamos usar teoria de limites de funções reais, representação polar para esboçar a curva, derivação componente a componente e fórmula de comprimento de arco L=∫|γ′(t)|dt para mostrar que esse comprimento converge.

Passo 2

Para (a), note que para b<0 temos lim_{t→∞}e^{b t}=0. Como cos(t) e sen(t) são funções limitadas em [-1,1], segue que cada componente de γ(t) tende a zero. Logo,
limttoinftygamma(t)=(0,0)

Passo 3

Para (b), observe que γ está em coordenadas polares com raio r(t)=a e^{b t} (decrescente exponencial) e ângulo θ(t)=t (aumenta linearmente). Isso é exatamente uma espiral que vai enrolando em torno da origem com raio decrescente. No esboço, traçamos uma espiral indo de t=t₀ para t→∞ aproximando-se de (0,0).

Passo 4

Para ©, derivamos componente a componente. Usando produto e chain rule, obtemos
γ'(t)=l(a e^b t(bcos t-sin t),;a e^b t(bsin t+cos t)r)
Como e^{b t}→0 e (b cos t−sen t),(b sen t+cos t) são limitados, segue lim_{t→∞}γ′(t)=(0,0).

Passo 5

Para o comprimento, calculamos
|γ'(t)|=a e^b traiz(bcos t-sin t)^2+(bsin t+cos t)^2
Expandindo e simplificando o radicando, as misturas se cancelam e ficamos com b²+1. Assim
|γ'(t)|=araiz1+b^2,e^b t
Logo o comprimento de t₀ até ∞ é
L=integralt0^infty|γ'(t)|,dt = araiz1+b^2integralt0^inftye^b t,dt =araiz1+b^2-b,e^b t0,
que é finito porque b<0. Portanto γ tem comprimento finito em [t₀,∞).

Resposta

(a) limttoinftygamma(t)=(0,0).
(b) É uma espiral exponencial decrescente (raio r=a e^b t, ângulo t), consolida-se em torno da origem.
© limttoinftygamma'(t)=(0,0) e o comprimento em [t0,infty) é
L=araiz1+b^2-be^b t0,
que é finito.

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