Mostre que lim (x, y) (0,0)|y|^x não existe

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que lim(x,y)to(0,0)|y|^x não existe. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar a ideia de calcular o limite por diferentes caminhos.

Passo 2

Em limites de funções de duas variáveis, se existir um valor comum, ele deve ser o mesmo ao longo de todo caminho. Basta encontrar dois caminhos que levem a valores distintos para concluir que o limite não existe.

Passo 3

Caminho 1: tomar x=0. Para yneq0 vale |y|^0 = 1. Logo, limyto0|y|^0 = 1.

Passo 4

Caminho 2: tomar x=c>0 constante. Então |y|^x = |y|^c e sabemos que limyto0|y|^c = 0, pois é potência positiva de algo que tende a zero.

Passo 5

Como os dois caminhos deram resultados diferentes (1 e 0), concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite lim(x,y)to(0,0)|y|^x não existe.

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