Calcule os seguintes limites:
lim n +infty raiz[3]n^3+2 n^2-1-raiz[3]n^3+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
lim n +infty raiz[3]n^3+2 n^2-1-raiz[3]n^3+2
Aqui estamos lidando com limites no infinito e raízes de terceiro grau. Vamos precisar manipular as expressões para simplificar e encontrar o comportamento quando cresce cada vez mais.

Passo 2

Primeiro, observe que tanto raiz[3]n^3+2 n^2-1 = n raiz[3]1 + 2n - 1n^3 quanto raiz[3]n^3+2 = n raiz[3]1 + 2n^3 são termos de potência em . Quando é muito grande, os termos de maior grau (neste caso, ) dominam. Isso significa que podemos fatorar de dentro das raízes para simplificar.
Vamos reescrever cada raiz:

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões na equação original:
n raiz[3]1 + 2n - 1n^3 - n raiz[3]1 + 2n^3
Vamos fatorar n ( raiz[3]1 + 2n - 1n^3 - raiz[3]1 + 2n^3 ) para simplificar ainda mais:

Passo 4

Para facilitar o cálculo do limite, note que quando raiz[3]1 + x approx 1 + x3 quando x é pequeno tende ao infinito, os termos raiz[3]1 + 2n - 1n^3 approx 1 + 13(2n - 1n^3) e raiz[3]1 + 2n^3 approx 1 + 13(2n^3) tendem a zero. Podemos então aproximar as raízes utilizando a expansão de binômio para raízes cúbicas:
é
Aplicando isso:

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão:
n ( [1 + 13(2n - 1n^3)] - [1 + 13(2n^3)] )
Simplificando dentro dos colchetes:
n ( 23n - 13n^3 - 23n^3 ) = n ( 23n - 33n^3 ) = n ( 23n - 1n^3 )

Passo 6

Distribuindo o 23 - nn^3 = 23 - 1n^2 :
Agora, quando tende ao infinito, tende a zero.

Passo 7

Então, o limite é:
23 - 0 = 23

Resposta

O limite é .

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