Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Aqui estamos lidando com limites no infinito e raízes de terceiro grau. Vamos precisar manipular as expressões para simplificar e encontrar o comportamento quando
cresce cada vez mais.
Passo 2
Primeiro, observe que tanto
quanto
são termos de potência em
. Quando
é muito grande, os termos de maior grau (neste caso,
) dominam. Isso significa que podemos fatorar
de dentro das raízes para simplificar.
Vamos reescrever cada raiz:
Passo 3
Agora, substituímos essas expressões na equação original:
Vamos fatorar
para simplificar ainda mais:
Passo 4
Para facilitar o cálculo do limite, note que quando
tende ao infinito, os termos
e
tendem a zero. Podemos então aproximar as raízes utilizando a expansão de binômio para raízes cúbicas:
Aplicando isso:
Passo 5
Substituindo essas aproximações na expressão:
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 6
Distribuindo o
:
Agora, quando
tende ao infinito,
tende a zero.
Passo 7
Então, o limite é:
Resposta
O limite é
.