Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os limites abaixo:
lim x +infty x^2(2+sen^2 x)x+100

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto. O enunciado pede para calcular o limite de x^2(2+sen^2 x)x+100 quando x tende a mais infinito. Para isso, vamos precisar entender como funciona o Teorema do Confronto e como aplicar desigualdades envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o seno ao quadrado de qualquer número está sempre entre 0 e 1. Ou seja:
0 <= sen^2x <= 1
Isso vai nos ajudar a estabelecer limites para a expressão dentro do limite que queremos calcular.

Passo 3

Agora, vamos acrescentar 2 em todas as partes da desigualdade:
2 <= 2 + sen^2x <= 3
Isso significa que a expressão 2 + sen^2x está sempre entre 2 e 3.

Passo 4

Vamos multiplicar toda a desigualdade por x^2, que é sempre positivo quando x tende a mais infinito:
2x^2 <= x^2(2 + sen^2x) <= 3x^2
Dessa forma, conseguimos encontrar limites inferiores e superiores para a parte do numerador da nossa função.

Passo 5

Agora, vamos dividir toda a desigualdade por x + 100, que também é positivo quando x tende a mais infinito:
2x^2x + 100 <= x^2(2 + sen^2x)x + 100 <= 3x^2x + 100
Isso nos dá os limites que vão “confrontar” nossa função original.

Passo 6

Vamos calcular o limite das expressões de cima e de baixo quando x tende a mais infinito.
Para 2x^2x + 100 e 3x^2x + 100, dividindo o numerador e o denominador por x:
limx to +infty 2x^2x + 100 = limx to +infty 2x1 + 100x = +infty
e
limx to +infty 3x^2x + 100 = limx to +infty 3x1 + 100x = +infty
Ambos os limites são infinitos, o que significa que nossa função original também tende ao infinito.

Resposta

O limite é +infty.

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