Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto. O enunciado pede para calcular o limite de
quando
tende a mais infinito. Para isso, vamos precisar entender como funciona o Teorema do Confronto e como aplicar desigualdades envolvendo funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o seno ao quadrado de qualquer número está sempre entre 0 e 1. Ou seja:
Isso vai nos ajudar a estabelecer limites para a expressão dentro do limite que queremos calcular.
Passo 3
Agora, vamos acrescentar 2 em todas as partes da desigualdade:
Isso significa que a expressão
está sempre entre 2 e 3.
Passo 4
Vamos multiplicar toda a desigualdade por
, que é sempre positivo quando
tende a mais infinito:
Dessa forma, conseguimos encontrar limites inferiores e superiores para a parte do numerador da nossa função.
Passo 5
Agora, vamos dividir toda a desigualdade por
, que também é positivo quando
tende a mais infinito:
Isso nos dá os limites que vão “confrontar” nossa função original.
Passo 6
Vamos calcular o limite das expressões de cima e de baixo quando
tende a mais infinito.
Para e
, dividindo o numerador e o denominador por
:
Para
e
Ambos os limites são infinitos, o que significa que nossa função original também tende ao infinito.
Resposta
O limite é
.