Calcule os seguintes limites:
lim x +infty x^2(sen x+cos ^3 x)(x^2+1)(x-3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx +infty x^2l(sen x + cos^3xr)(x^2+1)(x-3)
O conteúdo envolve o limite de uma função oscilante multiplicada por fator polinomial, e vamos usar o fato de que sen x e cos^3x são funções limitadas e comparar com o crescimento do denominador.

Passo 2

Notamos que
-1 <= sen x <= 1 e -1 <= cos^3x <= 1
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-2 <= sen x + cos^3x <= 2
Multiplicando por x^2>0, obtemos a desigualdade
-2x^2 <= x^2l(sen x + cos^3xr) <= 2x^2

Passo 3

Para x>3, o denominador (x^2+1)(x-3) é positivo. Dividindo a desigualdade anterior por (x^2+1)(x-3), temos
-,2x^2(x^2+1)(x-3) ;<=; x^2l(sen x + cos^3xr)(x^2+1)(x-3) ;<=; 2x^2(x^2+1)(x-3)
Como (x^2+1)(x-3) é um polinômio de grau 3, é imediato que
limxto+infty2x^2(x^2+1)(x-3) = 0 e limxto+inftyl(-2x^2(x^2+1)(x-3)r) = 0

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como as funções que suprem e que infimam a nossa expressão têm limite zero, concluímos que a expressão original também tende a zero.

Resposta

0

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