Resolva as seguintes equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
y^prime prime+2 k y^prime+k^2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + 2k,y' + k^2,y = 0,
onde k é constante. O método consiste em montar a equação característica, encontrar suas raízes e então escrever a solução geral, lembrando que, em caso de raiz dupla, aparece um fator t.

Passo 2

Associamos à equação diferencial a equação polinomial em lambda:
lambda^2 + 2k,lambda + k^2 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante:
De<a = (2k)^2 - 4cdot1cdot k^2 = 4k^2 - 4k^2 = 0,
logo há uma raiz real dupla. Essa raiz é
lambda = -2k2 = -k

Passo 4

Para uma raiz dupla lambda=-k de multiplicidade 2, a forma da solução geral é
y(t) = l(C1 + C2,tr)e^-k,t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(t) = l(C1 + C2,tr)e^-k,t

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