Considere a EDO y^prime prime+4 y^prime+4 y=0
a) mostre que y1(x)=e^-2 x é uma solução
b) encontre a solução geral

Passo 1

A equação diferencial dada é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Conteúdo: resolver EDOs do tipo y’’ + a y’ + b y = 0 usando a equação característica. Precisamos (1) verificar que y₁(x)=e^{-2x} satisfaz a equação e (2) obter a solução geral.

Passo 2

Para verificar que y₁(x)=e^{-2x} é solução, calculamos suas derivadas:
Derivada primeira:
y₁'(x)=ddxe^-2x=-2e^-2x
Derivada segunda:
y₁''(x)=ddx(-2e^-2x)=4e^-2x
Substituindo na EDO:
y₁''+4y₁'+4y₁=4e^-2x+4(-2e^-2x)+4e^-2x=4e^-2x-8e^-2x+4e^-2x=0
Isso mostra que y₁ satisfaz a equação.

Passo 3

Para obter a solução geral, usamos a substituição y=e^{rx}. A equação característica é
r^2+4r+4=0
O discriminante é Δ=4^2-4·1·4=16-16=0, portanto há raiz dupla r=-2.
Em caso de raiz dupla, a solução geral é
y(x)=(C1+C2x)e^-2x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitárias.

Resposta

y(x)=C1e^-2x+C2xe^-2x

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