Considere a EDO
a) mostre que
é uma solução
b) encontre a solução geral
a) mostre que
b) encontre a solução geral
Passo 1
A equação diferencial dada é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Conteúdo: resolver EDOs do tipo y’’ + a y’ + b y = 0 usando a equação característica. Precisamos (1) verificar que y₁(x)=e^{-2x} satisfaz a equação e (2) obter a solução geral.
Conteúdo: resolver EDOs do tipo y’’ + a y’ + b y = 0 usando a equação característica. Precisamos (1) verificar que y₁(x)=e^{-2x} satisfaz a equação e (2) obter a solução geral.
Passo 2
Para verificar que y₁(x)=e^{-2x} é solução, calculamos suas derivadas:
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Substituindo na EDO:
Isso mostra que y₁ satisfaz a equação.
Passo 3
Para obter a solução geral, usamos a substituição y=e^{rx}. A equação característica é
O discriminante é Δ=4^2-4·1·4=16-16=0, portanto há raiz dupla r=-2.
Em caso de raiz dupla, a solução geral é
Em caso de raiz dupla, a solução geral é
onde C_1 e C_2 são constantes arbitárias.