Considere a função
dada por
a) Verifique que
é contínua em
.
b) Mostre que 1 é a única raiz de
em
, que
e que
.
c) Conclua que
e que
.
b) Mostre que 1 é a única raiz de
c) Conclua que
Passo 1
O enunciado define a função
em
e pede:
– (a) mostrar que é contínua nesse intervalo;
– (b) provar que é a única raiz de
em
e calcular
e
;
– (c) concluir o sinal de em
e em
.
– (a) mostrar que
– (b) provar que
– (c) concluir o sinal de
Passo 2
Para (a), note que
é polinomial (logo contínua em
) e
também é polinomial. Como a função
é contínua em
, a composição
é contínua em
. Finalmente, a diferença de duas funções contínuas é contínua, logo
é contínua em
.
Passo 3
Em
temos
e
, de modo que
Elevando ao quadrado (sem introduzir raiz extrínseca porque ambos os lados são não negativos),
Em
não vale
, restando resolver
Defina
. Então
logo
é estritamente crescente em
. Como
segue que
é a única raiz de
em
. Portanto
tem única raiz
em
.
Passo 4
Calculemos
e
Passo 5
Como
é contínua em
e tem única raiz em
, e ainda
e
, segue que
Resposta
(a)
é contínua em
.
(b) A única raiz em é
, com
e
.
(c) em
e
em
.
(b) A única raiz em
(c)