Considere a função f dada por
f(x)=2 x^3-raizx^2+3 x
a) Verifique que f é contínua em [0,+infty[.
b) Mostre que 1 é a única raiz de f em ] 0,+infty[, que f(2)>0 e que f(12)<0.
c) Conclua que f(x)>0 em] 1,+infty[ e que f(x)<0 em] 0,1[.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=2x^3-raizx^2+3x
em [0,+infty[ e pede:
– (a) mostrar que f é contínua nesse intervalo;
– (b) provar que 1 é a única raiz de f em ]0,+infty[ e calcular f(2) e f(tfrac12);
– (c) concluir o sinal de f em ]0,1[ e em ]1,+infty[.

Passo 2

Para (a), note que xmapsto2x^3 é polinomial (logo contínua em R) e xmapsto x^2+3x também é polinomial. Como a função raiz,cdot, é contínua em [0,+infty[, a composição
xmapsto raizx^2+3x
é contínua em xmid x^2+3x>=0=[0,+infty[. Finalmente, a diferença de duas funções contínuas é contínua, logo f é contínua em [0,+infty[.

Passo 3

Em ]0,+infty[ temos raizx^2+3x>0 e 2x^3>0, de modo que
f(x)=0 ;Long<=ftrightarrow; 2x^3=raizx^2+3x
Elevando ao quadrado (sem introduzir raiz extrínseca porque ambos os lados são não negativos),
4x^6=x^2+3x ;Long<=ftrightarrow; 4x^6-x^2-3x=0 ;Long<=ftrightarrow; xl(4x^5-x-3r)=0
Em ]0,+infty[ não vale x=0, restando resolver
4x^5-x-3=0
Defina g(x)=4x^5-x-3. Então
g'(x)=20x^4-1>0 forall x>0,
logo g é estritamente crescente em ]0,+infty[. Como
g(1)=4cdot1-1-3=0,
segue que x=1 é a única raiz de g em ]0,+infty[. Portanto f tem única raiz x=1 em ]0,+infty[.

Passo 4

Calculemos
f(2)=2cdot2^3-raiz2^2+3cdot2 =16-raiz4+6 =16-raiz10>0,
e
fl(tfrac12r) =2cdotl(tfrac12r)^3-raizl(tfrac12r)^2+3cdottfrac12 =tfrac14-raiztfrac14+tfrac32 =tfrac14-raiztfrac74 <0

Passo 5

Como f é contínua em [0,+infty[ e tem única raiz em x=1, e ainda f(2)>0 e f(tfrac12)<0, segue que
f(x)>0em ]1,+infty[, f(x)<0em ]0,1[

Resposta

(a) f é contínua em [0,+infty[.
(b) A única raiz em ]0,+infty[ é x=1, com f(2)>0 e f(tfrac12)<0.
(c) f(x)>0 em ]1,+infty[ e f(x)<0 em ]0,1[.

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