Calcule os seguintes limites.
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-n\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\bigl(\sqrt{n^{2}+n}-n\bigr).
O conteúdo aqui é cálculo de limite no infinito envolvendo expressão do tipo \sqrt{n^2+\cdot}-n. Para resolver, vamos racionalizar e depois usar propriedades de limites.

Passo 2

Racionalizamos multiplicando por \sqrt{n^{2}+n}+n:
\sqrt{n^{2}+n}-n = \frac{\bigl(\sqrt{n^{2}+n}-n\bigr)\bigl(\sqrt{n^{2}+n}+n\bigr)}{\sqrt{n^{2}+n}+n} = \frac{n^{2}+n - n^{2}}{\sqrt{n^{2}+n}+n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}+n}.

Passo 3

No denominador, fatoramos n:
\sqrt{n^{2}+n} = n\,\sqrt{1+\tfrac1n}, \quad \sqrt{n^{2}+n}+n = n\bigl(\sqrt{1+\tfrac1n}+1\bigr).
Então
\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}+n} = \frac{n}{n\bigl(\sqrt{1+\tfrac1n}+1\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{1+\tfrac1n}+1}.

Passo 4

Agora basta tomar o limite de n\to+\infty. Como \sqrt{1+\tfrac1n}\to1, temos
\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac1n}+1} = \frac{1}{1+1} = \tfrac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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