Verifique, em cada caso, se as sequências dadas pelas expressões abaixo são, ou não, monótonas.
\left(\frac{5 n+1}{2 n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_n = \frac{5n+1}{2n+1}
é monótona. O conteúdo aqui é “sequência monótona” e vamos usar o critério da diferença a_{n+1}-a_n para testar se a sequência é crescente ou decrescente.

Passo 2

O critério da diferença diz que, se
a_{n+1}-a_n \ge 0
para todo n, a sequência é não decrescente (e estritamente crescente se for >0). Se a_{n+1}-a_n \le 0, é não crescente.

Passo 3

Calculamos
a_{n+1}-a_n =\frac{5(n+1)+1}{2(n+1)+1}-\frac{5n+1}{2n+1} =\frac{5n+6}{2n+3}-\frac{5n+1}{2n+1}.

Passo 4

Colocando sobre o mesmo denominador (2n+3)(2n+1), o numerador fica
(5n+6)(2n+1)-(5n+1)(2n+3) =(10n^2+17n+6)-(10n^2+17n+3)=3.
Logo
a_{n+1}-a_n =\frac{3}{(2n+3)(2n+1)}.
Como (2n+3)(2n+1)>0 para todo n\ge0, temos a_{n+1}-a_n>0.

Passo 5

Concluímos que a_{n+1}-a_n é sempre positivo, logo a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência \bigl(\tfrac{5n+1}{2n+1}\bigr) é monótona crescente.

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