Calcule os seguintes limites.
\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{j=1}^{n} \frac{\sqrt{j+1}-\sqrt{j}}{\sqrt{j^{2}+j}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite da soma
\lim_{n\to+\infty}\sum_{j=1}^{n}\frac{\sqrt{j+1}-\sqrt{j}}{\sqrt{j^{2}+j}}.
O conteúdo principal é reconhecimento de soma telescópica e cálculo de limite de sequência.

Passo 2

Observe que
\sqrt{j^{2}+j} = \sqrt{j(j+1)} = \sqrt{j}\,\sqrt{j+1}.
Isso permite reescrever o termo geral de forma mais simples.

Passo 3

Escrevendo cada parcela temos
\frac{\sqrt{j+1}-\sqrt{j}}{\sqrt{j}\,\sqrt{j+1}} = \frac{\sqrt{j+1}}{\sqrt{j}\,\sqrt{j+1}} - \frac{\sqrt{j}}{\sqrt{j}\,\sqrt{j+1}} = \frac{1}{\sqrt{j}} - \frac{1}{\sqrt{j+1}}.

Passo 4

A soma parcial fica
S_{n} = \sum_{j=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{j}} - \frac{1}{\sqrt{j+1}}\Bigr).
Por telescopagem,
S_{n} = \Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) + \Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) + \cdots + \Bigl(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\Bigr) = 1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}.

Passo 5

Agora basta tomar o limite:
\lim_{n\to+\infty}S_{n} = \lim_{n\to+\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\Bigr) = 1.

Resposta

1

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