Considere r \in \mathbb{R} e a sequência ( r^{n} ). Mostre que
a sequência ( r^{n} ) é divergente para r \leq-1 e r>1.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência (r^n), com r\in\mathbb{R}, e pede para mostrar que ela não converge (ou seja, diverge) sempre que r>1 ou r\le -1. O conteúdo usado será o conceito de divergência para o infinito (sequência não limitada) e o critério de subsequências para indicar não existência de limite finito.
Passo 2
Caso r>1. Escreva r=1+\delta, com \delta>0. Pela desigualdade de Bernoulli (ou pelo binômio de Newton) segue
r^n = (1+\delta)^n \;\ge\; 1 + n\,\delta.
Como \lim_{n\to\infty}(1+n\delta)=+\infty, concluímos que
\lim_{n\to\infty}r^n = +\infty,
ou seja, (r^n)é não limitada e, portanto, diverge.
Passo 3
Caso r<-1. Então \lvert r\rvert>1. Note que
\bigl\lvert r^n\bigr\rvert = \lvert r\rvert^n,
e como \lvert r\rvert>1 cai no mesmo argumento do passo anterior, temos \lvert r^n\rvert\to+\infty. Logo (r^n) não pode convergir a um número finito (além de alternar de sinal), ou seja, diverge.
Passo 4
Caso r=-1. Aqui a sequência vale
r^n = (-1)^n,
logo as subsequências pares e ímpares são
(-1)^{2k} = 1,\quad (-1)^{2k+1} = -1.
Como uma subsequência tende a 1 e outra a -1, não existe limite único para (r^n). Logo diverge.
Resposta
Para r>1 a sequência r^n vai a +\infty.
Para r<-1 a sequência |r^n| vai a +\infty e ainda alterna de sinal.
Para r=-1 a sequência oscila entre -1 e 1.
Em todos esses casos (r^n)é divergente.