Calcule os seguintes limites.
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{3} n^{4}+n^{2}+1}{6-5 n^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando n\to+\infty, da sequência definida por
\frac{\sqrt{3}\,n^{4}+n^{2}+1}{6-5\,n^{4}}.
O conteúdo aqui é cálculo de limite de uma razão de polinômios em n. Vamos usar a ideia de fatorar a maior potência de n para enxergar quais termos realmente importam quando n fica muito grande.

Passo 2

Note que o numerador e o denominador são polinômios de grau 4 em n. Em situações assim, o termo de grau mais alto domina o comportamento para n\to\infty. Assim, no numerador o termo dominante é \sqrt{3}\,n^4 e, no denominador, é -5\,n^4.

Passo 3

Fatoramos n^4 tanto no numerador quanto no denominador:
\frac{\sqrt{3}\,n^{4}+n^{2}+1}{6-5\,n^{4}} =\frac{n^{4}\bigl(\sqrt{3} + n^{-2} + n^{-4}\bigr)}{n^{4}\bigl(-5 + 6\,n^{-4}\bigr)} =\frac{\sqrt{3} + n^{-2} + n^{-4}}{-5 + 6\,n^{-4}}.

Passo 4

Quando n\to+\infty, os termos n^{-2} e n^{-4} tendem a zero. Logo,
\lim_{n\to+\infty}\bigl(\sqrt{3} + n^{-2} + n^{-4}\bigr)=\sqrt{3}, \qquad \lim_{n\to+\infty}\bigl(-5 + 6\,n^{-4}\bigr)=-5.
Portanto, o limite da razão é
\frac{\sqrt{3}}{-5}=-\frac{\sqrt{3}}{5}.

Resposta

-\frac{\sqrt{3}}{5}

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