Verifique, em cada caso, se as sequências dadas pelas expressões abaixo são, ou não, monótonas.
\left(\frac{n!}{2^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_n = \frac{n!}{2^n}
é monótona. Isso significa checar se a_{n+1}\ge a_n (não decrescente) ou a_{n+1}\le a_n (não crescente). Como todos os termos são positivos, vamos usar a razão \frac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 2

Escrevemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{2^{\,n+1}}}{\displaystyle\frac{n!}{2^n}} = \frac{(n+1)!}{n!}\,\frac{2^n}{2^{\,n+1}} = \frac{n+1}{2}.

Passo 3

Analisamos o valor de \frac{n+1}{2}:
  • Se \frac{n+1}{2}>1, então a_{n+1}>a_n.
  • Se \frac{n+1}{2}=1, então a_{n+1}=a_n.
Resolvendo \frac{n+1}{2}>1 n+1>2, isto é, n>1.
Resolvendo \frac{n+1}{2}=1 n+1=2, ou seja, n=1.

Passo 4

Para n=1 temos \frac{a_2}{a_1}=1, logo a_2=a_1. Para todo n>1 temos \frac{a_{n+1}}{a_n}>1, logo a_{n+1}>a_n.
Isto mostra que a sequência é não decrescente em todos os termos e, a partir de n=2, é estritamente crescente.

Resposta

A sequência \displaystyle\frac{n!}{2^n} é monotonicamente crescente (não decrescente) e, para n\ge2, estritamente crescente.

Exercícios relacionados