Calcule os seguintes limites:
lim (raizn^2+1-raizn)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da sequência
raizn^2+1-raizn
quando ntoinfty.
O conteúdo principal aqui é lidar com a forma indeterminada “ infty-infty”, e para resolver isso vamos usar a técnica de racionalização, que consiste em multiplicar e dividir pela conjugada da expressão.

Passo 2

Escrevemos a expressão e identificamos a conjugada:
raizn^2+1-raizn longrightarrow l(raizn^2+1-raiznr),l(raizn^2+1+raiznr)raizn^2+1+raizn
No numerador, multiplicamos as conjugadas; no denominador fica a soma original.

Passo 3

Calculemos o numerador e reescrevamos o denominador:
l(raizn^2+1-raiznr)l(raizn^2+1+raiznr) &= (n^2+1)-n, raizn^2+1+raizn&permanece no denominador
Logo a expressão fica
n^2-n+1raizn^2+1+raizn

Passo 4

Para ver o comportamento quando ntoinfty, note que no numerador o termo dominante é n^2 e no denominador o dominante é raizn^2=n. Assim, para n grande,
n^2-n+1raizn^2+1+raizn simn^2n = n,
que cresce sem limite. Portanto a sequência não converge a um número finito, mas diverge para +infty.

Resposta

O limite é +infty.

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