Usando o método da Transformada de Laplace, resolva o pvi e depois obtenha o gráfico da solução
.
onde a função
é a função degrau unitário (Heaviside passo unitário, outras notações são é
ou
). Mais precisamente,
se
; e
se
.
Depois de resolver este PVI, faça um esboço gráfico da função incógnita
no intervalo
.
Depois de resolver este PVI, faça um esboço gráfico da função incógnita
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando o método da transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
-
, - Regra do deslocamento
, - Decomposição em frações parciais para inverter transformadas.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando
, obtemos
Como
e
, isso vira
Passo 3
Para
usamos a forma
com
Assim
Passo 4
Isolando
ficamos com
Escrevemos então
Passo 5
Decompondo
em
ajustamos numeradores e igualamos coeficientes a
. Isso leva a
Logo
Passo 6
Invertemos termo a termo. Primeiro
.
Em seguida
Em seguida
Finalmente a solução é
Passo 7
Esboço gráfico em
:
- Para
, , oscilações de período entre e . - Em
o termo em colchetes vale zero, garantindo continuidade. - Para
, soma-se à a oscilação criada pelo segundo termo, com mesma frequência mas defasagem, de amplitude menor.