Usando o método da Transformada de Laplace, resolva o pvi e depois obtenha o gráfico da solução y(t).
l y^prime prime(t)+4 y(t) equiv sen(t) h(t-2) y(0)=1, y^prime(0)=0
onde a função h(t-a) é a função degrau unitário (Heaviside passo unitário, outras notações são é u(t-a) ou ua(t) ). Mais precisamente, h(t-a):=0 se 0 <= t<a; e h(t-a):=1 se a >= t.
Depois de resolver este PVI, faça um esboço gráfico da função incógnita y(t) no intervalo (0,5].

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''(t)+4,y(t)=sin(t),h(t-2), y(0)=1,;y'(0)=0
usando o método da transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
  1. Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
  2. Regra do deslocamento f(t-a)h(t-a)mapsto e^-a sF(s),
  3. Decomposição em frações parciais para inverter transformadas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando Y(s)= Ly(t)(s), obtemos
s^2Y(s)-scdot y(0)-y'(0)+4Y(s) = Lsin(t),h(t-2)(s)
Como y(0)=1 e y'(0)=0, isso vira
(s^2+4)Y(s)-s = Lsin(t),h(t-2)(s)

Passo 3

Para sin(t),h(t-2) usamos a forma f(t-2)h(t-2) com
f(u)=sin(u+2)=sin ucos2+cos usin2
Assim
Lsin(t),h(t-2)(s) =e^-2s, Lf(u)(s) =e^-2sl(cos2s^2+1+ssin2s^2+1r)

Passo 4

Isolando Y(s) ficamos com
Y(s) =ss^2+4 +e^-2ss^2+4,l(cos2+ssin2s^2+1r)
Escrevemos então
Y(s) =ss^2+4 +e^-2s,F(s), F(s)=cos2+ssin2(s^2+1)(s^2+4)

Passo 5

Decompondo F(s) em
F(s)=A,s+Bs^2+1+C,s+Ds^2+4,
ajustamos numeradores e igualamos coeficientes a
sin2,s+cos2. Isso leva a
A=sin23,; B=cos23,; C=-sin23,; D=-cos23
Logo
F(s) =tfracsin23,s+tfraccos23s^2+1 +-tfracsin23,s-tfraccos23s^2+4

Passo 6

Invertemos termo a termo. Primeiro
L^-1tfracss^2+4=cos2t.
Em seguida
L^-1F(s)(t) =sin23cos t+cos23sin t -sin23cos2t -cos26sin2t
Finalmente a solução é
y(t)=cos2t +h(t-2)l[ sin23cos(t-2) +cos23sin(t-2) -sin23cosl(2(t-2)r) -cos26sinl(2(t-2)r) r]

Passo 7

Esboço gráfico em (0,5]:
  • Para 0<t<2, y(t)=cos2t, oscilações de período pi entre -1 e 1.
  • Em t=2 o termo em colchetes vale zero, garantindo continuidade.
  • Para 2<t<=5, soma-se à cos2t a oscilação criada pelo segundo termo, com mesma frequência mas defasagem, de amplitude menor.

Resposta

y(t)= cos(2t),&0<= t<2,[1em] cos2t +sin23cos(t-2) +cos23sin(t-2) -sin23cosl(2t-4r) -cos26sinl(2t-4r), &t>=2 ]

Exercícios relacionados