Calcule os seguintes limites:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede o limite
onde
é a variável complexa escrita como
. Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de aproximação é
, o que significa que e simultaneamente.
O que se pede: calcular o limite complexo quandotende a .
Passo 2
Lembrete importante sobre limites de funções complexas (isso é essencial para resolver):
- Se
com funções reais de , então
existe e vale
se, e somente se,
Ou seja, basta calcular os limites das partes real e imaginária separadamente e juntá-los como número complexo.
Passo 3
Identificar as partes real e imaginária da função:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
Vou começar pela parte real
. Defina
. Quando
temos
. Então
Usando o limite clássico (que pode ser visto via série de Taylor ou por desigualdades trigonométricas),
Portanto a parte real tende para
.
Passo 4
Agora a parte imaginária
. Como
quando
, temos
porque
. Isso é imediato pela continuidade do polinômio
.
Passo 5
Como a parte real tende para
e a parte imaginária tende para
, pelo princípio do Passo 2 o limite complexo existe e é