Calcule os seguintes limites:
a) \lim _{z \rightarrow 0}\left[\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}+i\left(y^{2}+1\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{z\to 0}\left[\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}+i\left(y^{2}+1\right)\right],
onde z é a variável complexa escrita como z=x+iy. Informações dadas:
  • A função considerada é f(z)=\dfrac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}+i\bigl(y^{2}+1\bigr).
  • O ponto de aproximação é z\to 0, o que significa que x\to 0 e y\to 0 simultaneamente.
    O que se pede: calcular o limite complexo quando (x,y) tende a (0,0).

Passo 2

Lembrete importante sobre limites de funções complexas (isso é essencial para resolver):
  • Se f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) com u,v funções reais de x,y, então
\lim_{z\to 0} f(z)
existe e vale L se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} u(x,y)=\operatorname{Re}L \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)} v(x,y)=\operatorname{Im}L.
Ou seja, basta calcular os limites das partes real e imaginária separadamente e juntá-los como número complexo.

Passo 3

Identificar as partes real e imaginária da função:
  • Parte real: u(x,y)=\dfrac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}.
  • Parte imaginária: v(x,y)=y^{2}+1.
Vou começar pela parte real u(x,y). Defina t=x+y. Quando (x,y)\to(0,0) temos t\to 0. Então
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y} = \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}.
Usando o limite clássico (que pode ser visto via série de Taylor ou por desigualdades trigonométricas),
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Portanto a parte real tende para 1.

Passo 4

Agora a parte imaginária v(x,y)=y^{2}+1. Como y\to 0 quando z\to 0, temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(y^{2}+1\bigr)=0+1=1,
porque y^{2}\to 0. Isso é imediato pela continuidade do polinômio y\mapsto y^{2}+1.

Passo 5

Como a parte real tende para 1 e a parte imaginária tende para 1, pelo princípio do Passo 2 o limite complexo existe e é
1 + i\cdot 1.

Resposta

1+i

Exercícios relacionados