1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+3 x)}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a 0 da expressão
\frac{\log(1+3x)}{3x}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é \log(1+3x) (entende-se aqui o logaritmo natural).
  • O denominador é 3x.
  • A variável que tende para 0 é x.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Observação útil (mudança de variável simples): se fizermos a substituição
u = 3x,
então quando x \to 0 temos também u \to 0. Reescrevendo o limite em termos de u obtemos
\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+3x)}{3x} = \lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u}.
Esta forma com u é mais padrão e facilita o emprego de regras usuais de limites.

Passo 3

Agora vamos avaliar \displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u}.
Note que ao substituir u=0 tanto o numerador quanto o denominador valem 0, ou seja temos uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}. Uma ferramenta clássica para esse caso é a Regra de L’Hôpital.
Explicando a Regra de L’Hôpital (em linguagem simples): se duas funções f(u) e g(u) tendem a 0 quando u\to a (ou ambas tendem a \pm\infty), e se f e g são diferenciáveis em torno de a (exceto possivelmente em a), então, desde que o limite dos quocientes das derivadas exista, vale
\lim_{u\to a} \frac{f(u)}{g(u)} = \lim_{u\to a} \frac{f'(u)}{g'(u)}.
Aqui isso é aplicável porque \log(1+u) e u vão para 0 quando u\to0 e são diferenciáveis perto de 0.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital ao nosso caso, diferenciamos numerador e denominador em relação a u:
  • A derivada de \log(1+u) é \dfrac{1}{1+u}.
  • A derivada de u é 1.
Portanto, pelo enunciado da Regra de L’Hôpital,
\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = \lim_{u \to 0} \frac{\dfrac{1}{1+u}}{1} = \lim_{u \to 0} \frac{1}{1+u}.

Passo 5

Esse último limite é simples de calcular: basta substituir u=0 na expressão contínua \dfrac{1}{1+u}. Logo
\lim_{u \to 0} \frac{1}{1+u} = \frac{1}{1+0} = 1.

Passo 6

Voltando à variável original x (ou lembrando da igualdade do Passo 2), concluímos que
\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+3x)}{3x} = 1.

Resposta

1

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