- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A função no numerador é
(entende-se aqui o logaritmo natural). - O denominador é
. - A variável que tende para
é .
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Observação útil (mudança de variável simples): se fizermos a substituição
então quando
temos também
. Reescrevendo o limite em termos de
obtemos
Esta forma com
é mais padrão e facilita o emprego de regras usuais de limites.
Passo 3
Agora vamos avaliar
.
Note que ao substituir tanto o numerador quanto o denominador valem
, ou seja temos uma indeterminação do tipo
. Uma ferramenta clássica para esse caso é a Regra de L’Hôpital.
Note que ao substituir
Explicando a Regra de L’Hôpital (em linguagem simples): se duas funções
e
tendem a
quando
(ou ambas tendem a
), e se
e
são diferenciáveis em torno de
(exceto possivelmente em
), então, desde que o limite dos quocientes das derivadas exista, vale
Aqui isso é aplicável porque
e
vão para
quando
e são diferenciáveis perto de
.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital ao nosso caso, diferenciamos numerador e denominador em relação a
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto, pelo enunciado da Regra de L’Hôpital,
Passo 5
Esse último limite é simples de calcular: basta substituir
na expressão contínua
. Logo
Passo 6
Voltando à variável original
(ou lembrando da igualdade do Passo 2), concluímos que
Resposta
1