Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-8 x+15}\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-8x+15}.
O conteúdo é limites de funções racionais, e vamos precisar de fatoração de polinômios e da propriedade de continuidade de funções após simplificação.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3),
x^{2}-8x+15=(x-3)(x-5).

Passo 3

Para x\neq3 podemos simplificar o fator comum (x-3):
\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-8x+15} =\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x-5)} =\frac{x-2}{x-5}.

Passo 4

Agora a função simplificada é contínua em x=3, então basta substituir x=3:
\lim_{x\to3}\frac{x-2}{x-5} =\frac{3-2}{3-5} =\frac{1}{-2} =-\frac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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