Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{2}+2 x-3}.
Observação: Em nenhum dos limites é permitido o uso da regra de L’Hôspital.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{2}+2x-3}
sem usar a regra de L’Hôspital. O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios para eliminar a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Tentando a substituição direta em x=1, vemos que o numerador e o denominador valem
1^3 - 1^2 + 1 - 1 = 0, \qquad 1^2 + 2\cdot1 - 3 = 0,
logo temos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Precisamos então fatorar.

Passo 3

Fatoramos o numerador por agrupamento:
x^3 - x^2 + x - 1 = (x^3 - x^2) + (x - 1) = x^2(x - 1) + 1\,(x - 1) = (x - 1)(x^2 + 1).

Passo 4

Fatoramos o denominador como uma diferença de raízes:
x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3).

Passo 5

Cancelamos o fator comum (x - 1) e obtemos a função equivalente
\frac{x^2 + 1}{x + 3},
que é contínua em x=1. Basta então substituir x=1:
\frac{1^2 + 1}{1 + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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