4^{\underline{a}} Questão (2,5 pts) Calcule a integral
\iiint_{\mathcal{E}} z d V \quad \text { onde } \mathcal{E} \text { é o elipsóide sólido } \frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{9}+(z-1)^{2} \leq 1 é ó ó
Sugestão: Faça a translação
X=x-1, Y=y-1, Z=z-1 , em seguida transforme o elipsóide em uma esfera usando a substituição
u=\frac{X}{2}, v=\frac{Y}{3}, w=Z e, por último, transforme a esfera em um paralelepípedo, usando coordenadas esféricas.
R. A translação sugerida leva o elipsóide
\mathcal{E} para a origem e não interfere no elemento de volume, ou seja
d V=d x d y d z=d X d Y d Z . A equação no sistema transladado é
E:\left(\frac{X}{2}\right)^{2}+\left(\frac{Y}{3}\right)^{2}+Z^{2} \leq 1
A substituição
u=\frac{X}{2}, v=\frac{Y}{3}, w=Z transforma o elipsóide
E na esfera
\mathcal{E}^{\prime}: u^{2}+v^{2}+w^{2} \leq 1
e
d V=d x d y d z=d X d Y d Z=6 d u d v d w . Usando coordenadadas esféricas no sistema uvw temos
\begin{aligned} u & =\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta \\\ v & =\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta \quad \operatorname{com} d u d v d w=\rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi \\\ w & =\rho \cos \varphi \end{aligned}
que transforma a esfera
\mathcal{E}^{\prime} no paralelepípedo
\begin{aligned} & 0 \leq \rho \leq 1 \\\ \mathcal{P}: & 0 \leq \theta \leq 2 \pi \\\ & 0 \leq \varphi \leq \pi \end{aligned}
\begin{aligned} \iiint_{\mathcal{E}} z d V & =\iiint_{E}(Z+1) d V=\iiint_{\mathcal{E}^{\prime}}(w+1) 6 d u d v d w=6 \iiint_{\mathcal{P}}(\rho \cos \varphi+1) \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi \\\ & =6 \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1}\left(\rho^{3} \cos \varphi \operatorname{sen} \varphi+\rho^{2} \operatorname{sen} \varphi\right) d \rho d \theta d \varphi \\\ & =6 \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{\rho^{4}}{4} \cos \varphi \operatorname{sen} \varphi+\frac{\rho^{3}}{3} \operatorname{sen} \varphi\right)_{0}^{1} d \theta d \varphi \\\ & =\left.6 \int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{4} \cos \varphi \operatorname{sen} \varphi+\frac{1}{3} \operatorname{sen} \varphi\right) \theta\right|_{0} ^{2 \pi} d \varphi \\\ & =12 \pi\left(\frac{1}{4} \frac{\operatorname{sen}^{2} \varphi}{2}-\frac{1}{3} \cos \varphi\right)_{0}^{\pi}=-4 \pi(\cos \pi-\cos 0) \\\ & =8 \pi \end{aligned}