Verifique que as seguintes funções não possuem limite quando z \rightarrow 0 :
b) f(z)=\frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função f não tem limite quando z \to 0. A função dada é
f(z)=\frac{\operatorname{Re}(z)}{\lvert z\rvert}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A variável complexa é z.
  • A função está definida para z\neq 0 (em z=0 o denominador \lvert z\rvert é zero).
  • A tarefa é mostrar que \lim_{z\to 0} f(z) não existe.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma simples e concreta, o que significa “o limite de f(z) quando z\to 0 existe”. Dizemos que
\lim_{z\to 0} f(z)=L
se, ao aproximarmos z de 0 por qualquer caminho no plano complexo, os valores f(z) se aproximarem do mesmo número L. Uma maneira prática de provar que o limite NÃO existe é encontrar duas (ou mais) sequências ou caminhos diferentes que tendem a 0 e cujos valores de f tendem a números diferentes. Se existir pelo menos um par de caminhos com limites distintos, então não há limite único em 0.

Passo 3

Teste pelo eixo real positivo. Tome pontos z=x com x>0 e x\to 0^+. Para esses pontos:
\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}(x)=x,\qquad \lvert z\rvert=\lvert x\rvert=x,
logo
f(x)=\frac{x}{x}=1\quad\text{para }x>0.
Assim, ao aproximar 0 pelo lado real positivo (por exemplo pela sequência z_n=\tfrac{1}{n}), obtemos
\lim_{x\to 0^+} f(x)=1.

Passo 4

Teste pelo eixo real negativo. Tome pontos z=x com x<0 e x\to 0^-. Para esses pontos:
\operatorname{Re}(z)=x,\qquad \lvert z\rvert=\lvert x\rvert=-x,
logo
f(x)=\frac{x}{-x}=-1\quad\text{para }x<0.
Assim, ao aproximar 0 pelo lado real negativo (por exemplo pela sequência z_n=-\tfrac{1}{n}), obtemos
\lim_{x\to 0^-} f(x)=-1.

Passo 5

Para reforçar (e mostrar que nem mesmo um terceiro caminho dá o mesmo valor), teste pelo eixo imaginário. Tome z=iy com y\in\mathbb{R}, y\neq 0, e y\to 0. Então
\operatorname{Re}(iy)=0,\qquad \lvert iy\rvert=\lvert y\rvert,
logo
f(iy)=\frac{0}{\lvert y\rvert}=0\quad\text{para }y\neq 0.
Assim, aproximando 0 pela sequência z_n=i\frac{1}{n}, obtemos
\lim_{y\to 0} f(iy)=0.

Passo 6

Conclusão lógica: encontramos três maneiras diferentes de aproximar 0 (pelos eixos reais positivo, real negativo e imaginário) que produzem três limites distintos para f(z):
1,\qquad -1,\qquad 0.
Pelo critério mencionado no Passo 2, se existirem duas sequências (ou caminhos) convergindo para 0 cujos f-valores tendem a limites diferentes, então \lim_{z\to 0} f(z) não existe. Aqui temos até três limites diferentes, portanto o limite em 0 não existe.

Resposta

O limite \lim_{z\to 0} \dfrac{\operatorname{Re}(z)}{\lvert z\rvert} não existe.

Exercícios relacionados