Verifique que as seguintes funções não possuem limite quando
:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
não tem limite quando
. A função dada é
Informações relevantes do enunciado:
- A variável complexa é
. - A função está definida para
(em o denominador é zero). - A tarefa é mostrar que
não existe.
Passo 2
Vamos lembrar, de forma simples e concreta, o que significa “o limite de
quando
existe”. Dizemos que
se, ao aproximarmos
de
por qualquer caminho no plano complexo, os valores
se aproximarem do mesmo número
. Uma maneira prática de provar que o limite NÃO existe é encontrar duas (ou mais) sequências ou caminhos diferentes que tendem a
e cujos valores de
tendem a números diferentes. Se existir pelo menos um par de caminhos com limites distintos, então não há limite único em
.
Passo 3
Teste pelo eixo real positivo. Tome pontos
com
e
. Para esses pontos:
logo
Assim, ao aproximar
pelo lado real positivo (por exemplo pela sequência
), obtemos
Passo 4
Teste pelo eixo real negativo. Tome pontos
com
e
. Para esses pontos:
logo
Assim, ao aproximar
pelo lado real negativo (por exemplo pela sequência
), obtemos
Passo 5
Para reforçar (e mostrar que nem mesmo um terceiro caminho dá o mesmo valor), teste pelo eixo imaginário. Tome
com
,
, e
. Então
logo
Assim, aproximando
pela sequência
, obtemos
Passo 6
Conclusão lógica: encontramos três maneiras diferentes de aproximar
(pelos eixos reais positivo, real negativo e imaginário) que produzem três limites distintos para
:
Pelo critério mencionado no Passo 2, se existirem duas sequências (ou caminhos) convergindo para
cujos
-valores tendem a limites diferentes, então
não existe. Aqui temos até três limites diferentes, portanto o limite em
não existe.
Resposta
O limite
não existe.